Question

Приведён многочлен:  Докажите, что он кратен 6, при любых целых значениях x

Answer 1

Разложим на множители:

${x}^{3} - x = x(x - 1)(x + 1)$

Если записать в виде

$(x - 1)x(x + 1)$

то мы видим произведение трех последовательных чисел:

(х-1); х и (х+1)

В этой последовательности хотя бы одно четное число (т.е. делится на 2) и хотя бы одно число кратно трём.

Так как произведение делится на 2 и на 3, то оно делится на 6 (2×3=6), следовательно и многочлен делится на 6.

чтд

Answer 2

Для доказательства того, что данный многочлен кратен 6 при любых целых значениях x, нам необходимо показать, что каждый его член делится на 6.

Допустим, у нас есть многочлен:

$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$

где $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0$ - коэффициенты многочлена, а $n$ - его степень (порядок).

Чтобы многочлен $P(x)$ был кратен 6 при любых целых значениях $x$, необходимо и достаточно, чтобы каждый его член $a_ix^i$ делился на 6. Это происходит, когда каждый из коэффициентов $a_i$ делится на 6.

То есть условие для кратности многочлена 6:

$6 \mid a_n,$ $6 \mid a_{n-1},$ $\ldots$ $6 \mid a_1,$ $6 \mid a_0.$

Теперь давайте докажем это утверждение. Предположим, что все коэффициенты $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0$ делятся на 6. Тогда для каждого члена $a_ix^i$ получаем:

$a_ix^i = 6 \cdot \left(\frac{a_i}{6}\right)x^i.$

Таким образом, каждый член $a_ix^i$ делится на 6. А значит, и весь многочлен $P(x)$ также делится на 6 при любых целых значениях $x$.

Поскольку мы показали, что если каждый коэффициент многочлена делится на 6, то многочлен кратен 6, то доказательство завершено.

Итак, многочлен кратен 6 при любых целых значениях $x$, когда все его коэффициенты делятся на 6.