Question

Решите неравенство 5x(x-2)—< (x+1)²​

Answer 1

На фото.....................

Answer 2

Для решения данного неравенства, начнем с переноса всех членов в левую часть:

5x(x - 2) - (x + 1)² < 0

Раскроем скобки:

5x^2 - 10x - (x^2 + 2x + 1) < 0

Упростим выражение:

5x^2 - 10x - x^2 - 2x - 1 < 0

Теперь объединим подобные слагаемые:

(5x^2 - x^2) + (-10x - 2x) - 1 < 0

4x^2 - 12x - 1 < 0

Теперь попробуем решить данное квадратное неравенство. Нам нужно найти интервалы, на которых это неравенство истинно.

1. Решим соответствующее квадратное уравнение:

4x^2 - 12x - 1 = 0

Можем решить его с помощью квадратного уравнения, но для упрощения процесса воспользуемся формулой дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

Для уравнения ax^2 + bx + c = 0, где a = 4, b = -12 и c = -1:

D = (-12)^2 - 4 * 4 * (-1) = 144 + 16 = 160

2. Найдем корни уравнения (решение зависит от знака дискриминанта):

x = (-b ± √D) / 2a x = (12 ± √160) / 2 * 4 x = (12 ± √160) / 8 x = (12 ± 4√10) / 8 x = (3 ± √10) / 2

Теперь у нас есть два корня: x = (3 + √10) / 2 и x = (3 - √10) / 2.

3. Найдем значения, которые разбивают числовую прямую на интервалы:

a) Выберем тестовую точку между (-∞, (3 - √10) / 2): Допустим, x = 0 4(0)^2 - 12(0) - 1 = -1, что меньше нуля.

b) Выберем тестовую точку между ((3 - √10) / 2, (3 + √10) / 2): Допустим, x = 1 4(1)^2 - 12(1) - 1 = -9, что меньше нуля.

c) Выберем тестовую точку между ((3 + √10) / 2, +∞): Допустим, x = 2 4(2)^2 - 12(2) - 1 = 3, что больше нуля.

4. Теперь посмотрим на знаки в интервалах:

a) (-∞, (3 - √10) / 2): Ответ: (-∞, (3 - √10) / 2).

b) ((3 - √10) / 2, (3 + √10) / 2): Ответ: ((3 - √10) / 2, (3 + √10) / 2).

c) ((3 + √10) / 2, +∞): Ответ: ((3 + √10) / 2, +∞).

Итак, решением неравенства 5x(x - 2) - (x + 1)² < 0 является объединение всех трех интервалов:

(-∞, (3 - √10) / 2) ∪ ((3 - √10) / 2, (3 + √10) / 2) ∪ ((3 + √10) / 2, +∞)