Question

Помогите решить показательное неравенство 3^x^2<3^2x, подробно

Answer 1

${3}^{{x}^{2} } < {3}^{2x}$
Т.к. 3>1, то функция 3^t является возрастающей, а значит
${x}^{2} < 2x \\ {x}^{2} - 2x < 0 \\ x(x - 2) < 0$
Решим неравенство методом интервалов.
Нулями левой части последнего неравенства являются точки х=0 и х=2.
Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка: (-беск; 0) (0;2) (2;+беск)
Определяем знак левой части последнего неравенства на каждом промежутке:
(-беск;0): +
(0;2): -
(2;+беск): +
Нас интересует промежуток, где значения меньше нуля.
Ответ: (0;2).

Answer 2

Для решения показательного неравенства $3^{x^2} < 3^{2x}$, нам потребуется использовать свойства показательных функций. В частности, нам понадобится свойство равенства $a^m = a^n \Rightarrow m = n$ для положительных $a$, если $a \neq 1$. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно:

Шаг 1: Приведение выражения к общему основанию. Мы знаем, что для любого положительного $a \neq 1$ и чисел $m$ и $n$ выполняется следующее: $a^m < a^n \Rightarrow m < n$

В нашем неравенстве $3^{x^2} < 3^{2x}$, мы можем сократить общий основание 3, предполагая, что $3 \neq 1$, и получить: $x^2 < 2x$

Шаг 2: Приведение неравенства к виду $0 < \text{что-то}$. Для этого нам нужно перенести все элементы в одну сторону неравенства. Давайте вычтем $2x$ с обеих сторон: $x^2 - 2x < 0$

Шаг 3: Факторизация и нахождение точек пересечения с осью $x$. Теперь нам нужно проанализировать знак выражения $x^2 - 2x$ и найти точки пересечения с осью $x$, когда оно равно нулю.

Факторизуем $x^2 - 2x$: $x(x - 2) < 0$

Чтобы найти точки пересечения с осью $x$, приравняем выражение к нулю и решим уравнение: $x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем две возможных точки пересечения: $x = 0$ и $x = 2$.

Шаг 4: Построение числовой линии и проверка знаков. Теперь построим числовую линию и проверим знак выражения $x^2 - 2x$ на различных интервалах.

Наши точки пересечения $x = 0$ и $x = 2$ разбивают числовую линию на три интервала: $(- \infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$.

Выберем по одной точке из каждого интервала и подставим их в выражение $x^2 - 2x$:

1. Для интервала $(- \infty, 0)$ возьмем $x = -1$: $(-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 > 0$

2. Для интервала $(0, 2)$ возьмем $x = 1$: $1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1 < 0$

3. Для интервала $(2, +\infty)$ возьмем $x = 3$: $3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3 > 0$

Шаг 5: Ответ. На интервалах $(- \infty, 0)$ и $(2, +\infty)$ выражение $x^2 - 2x$ больше нуля, а на интервале $(0, 2)$ оно меньше нуля.

Таким образом, решением показательного неравенства $3^{x^2} < 3^{2x}$ является интервал $(0, 2)$:

$0 < x < 2$

В этом интервале значение $3^{x^2}$ меньше значения $3^{2x}$.