Question

Найдите производную функций (распишите решение пожалуйста). А) y=x^5+1 Б) y= -1/x - 3x В) y= 4x^4 + √x Г) y= 1/3 x^3 - 2√x + 5/x Д) y= (5x-4) (2x^4-7x+1) Е) y= x^3 -7/3-4x^4

Answer 1

$\boxed {x^{n}=n\cdot x^{n-1}}\; \; \; \boxed {C'=0}\; \; \; \boxed{x'=1}\\\\a)\; \; y=x^5+1\; ,\; \; y'=5x^4+0=5x^4\\\\b)\; \; y=-\frac{1}{x}-3x\; ,\; \; y'=-(x^{-1})'-3\cdot x'=-(-1\cdot x^{-2})-3=\frac{1}{x^2}-3\\\\c)\; \; y=4x^4+\sqrt{x}\; \; ,\; \; y'=4\cdot 4x^3+(x^{1/2})'=16x^3+\frac{1}{2}\cdot x^{-1/2}=16x^3+\frac{1}{2\sqrt{x}}\\\\d)\; \; y=\frac{1}{3}\, x^3-2\sqrt{x}+\frac{5}{x}\\\\y'=\frac{1}{3}\cdot 3x^2-2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{5}{x^2}\\\\e)\; \; y=(5x-4)(2x^4-7x+1)\\\\y'=5\, (2x^4-7x+1)+(5x-4)(8x^3-7)$

$f)\; \; y=\frac{x^3-7}{3-4x^4}\\\\y'=\frac{3x^2\, (3-4x^4)-(x^3-7)(-16x^3)}{(3-4x^4)^2}=\frac{9x^2-12x^6+16x^6-112x^3}{(3-4x^4)^2}=\frac{x^2(9+4x^4-112x)}{(3-4x^4)^2}$

Answer 2

Для нахождения производных данных функций, воспользуемся правилами дифференцирования. Вспомним основные правила дифференцирования:

1. Правило степенной функции: Если у нас есть функция вида y = x^n, то ее производная равна dy/dx = n * x^(n-1).
2. Правило суммы: Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций.
3. Правило константы: Производная постоянной функции равна нулю.
4. Правило произведения: Производная произведения двух функций u(x) и v(x) равна u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).
5. Правило деления: Производная отношения двух функций u(x) и v(x) равна (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / v(x)^2.
6. Правило корня: Производная функции √u(x) равна u'(x) / (2 * √u(x)).

Теперь найдем производные для каждой из данных функций:

А) y = x^5 + 1 dy/dx = 5 * x^(5-1) + 0 = 5 * x^4.

Б) y = -1/x - 3x Для первого слагаемого -1/x применим правило деления и правило степенной функции: dy/dx = (-1)' * x^(-1-1) - 0 = -x^(-2) = -1/x^2.

Для второго слагаемого -3x применим правило произведения: dy/dx = (-3)' * x^(1-1) + (-3) * 1 = -3.

Теперь сложим производные: dy/dx = -1/x^2 - 3.

В) y = 4x^4 + √x dy/dx = 4 * 4x^(4-1) + 1 / (2 * √x) = 16x^3 + 1 / (2 * √x).

Г) y = 1/3 x^3 - 2√x + 5/x dy/dx = (1/3) * 3x^(3-1) - 2 * (1 / (2 * √x)) + (5)' * x^(-1-1) = x^2 - 1/√x - 5/x^2.

Д) y = (5x-4)(2x^4-7x+1) Используем правило произведения: dy/dx = (5x-4)' * (2x^4-7x+1) + (5x-4) * (2x^4-7x+1)' = 5 * (2x^4-7x+1) + (5x-4) * (8x^3 - 7).

Е) y = x^3 - 7/3 - 4x^4 dy/dx = 3x^(3-1) - 0 - 4 * 4x^(4-1) = 3x^2 - 16x^3.

Теперь у нас есть производные для каждой из функций.