Question

Докажите тождество (a+b)^3/(a^-1+b^-1)^3=a^3b^3

Answer 1

$\frac{(a+b)^3}{(a^{-1}+b^{-1})^3}=\frac{(a+b)^3}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^3}=\frac{(a+b)^3}{(\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab})^3}=\frac{(a+b)^3}{(\frac{b+a}{ab})^3}=\\\\\frac{(a+b)^3}{\frac{(b+a)^3}{(ab)^3}}=(a+b)^3\cdot\frac{(ab)^3}{(a+b)^3}=(ab)^3=a^3b^3$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и преобразуем её:

Начнем с левой стороны: (a + b)^3 / (a^(-1) + b^(-1))^3

Возводим (a + b) в куб: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Теперь возводим (a^(-1) + b^(-1)) в куб: (a^(-1) + b^(-1))^3 = a^(-3) + 3a^(-2)b^(-1) + 3a^(-1)b^(-2) + b^(-3)

Теперь делим кубы: (a + b)^3 / (a^(-1) + b^(-1))^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) / (a^(-3) + 3a^(-2)b^(-1) + 3a^(-1)b^(-2) + b^(-3))

Теперь умножим числитель и знаменатель на a^3b^3, чтобы сделать замену: (a + b)^3 / (a^(-1) + b^(-1))^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) * a^3b^3 / (a^(-3) + 3a^(-2)b^(-1) + 3a^(-1)b^(-2) + b^(-3)) * a^3b^3

Теперь раскроем скобки: (a + b)^3 / (a^(-1) + b^(-1))^3 = (a^6b^3 + 3a^5b^4 + 3a^4b^5 + a^3b^6) / (a^3b^3 + 3a^2b^2 + 3ab + 1)

Теперь сократим a^3b^3 в числителе и знаменателе: (a + b)^3 / (a^(-1) + b^(-1))^3 = a^3b^3 + 3a^2b^2 + 3ab + 1

Итак, мы получили, что левая сторона равна a^3b^3 + 3a^2b^2 + 3ab + 1.

Теперь рассмотрим правую сторону тождества, которая равна a^3b^3:

Таким образом, мы видим, что правая сторона тождества a^3b^3 не совпадает с левой стороной a^3b^3 + 3a^2b^2 + 3ab + 1.

Таким образом, тождество (a + b)^3 / (a^(-1) + b^(-1))^3 = a^3b^3 не верно.