Question

Дана функция y = 3x^2+x^3, найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции б) точки экстремума

Answer 1

Ответ:

========================================

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции и точек экстремума, нам нужно проанализировать её производную. Производная функции y = 3x^2 + x^3 будет определять её скорость изменения, что поможет нам найти интервалы возрастания и убывания, а также точки экстремума.

По определению производной, если y = f(x), то производная функции f(x) обозначается как f'(x) или dy/dx и вычисляется как производная слагаемых по отдельности:

f'(x) = d/dx (3x^2) + d/dx (x^3)

Вычислим производные:

d/dx (3x^2) = 6x d/dx (x^3) = 3x^2

Теперь найдём точки, где производная равна нулю, то есть где функция имеет экстремумы:

6x + 3x^2 = 0

Факторизуем выражение:

3x(2 + x) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x:

1. x = 0
2. 2 + x = 0 x = -2

Теперь составим таблицу знаков производной для определения промежутков возрастания и убывания:

x < -2 : f'(x) < 0 (отрицательно) -2 < x < 0 : f'(x) > 0 (положительно) x > 0 : f'(x) > 0 (положительно)

Из таблицы знаков производной видно, что функция возрастает на интервале (-2, 0) и на интервале (0, +∞). А убывает на интервале (-∞, -2).

Теперь найдем значения функции в точках экстремума и проверим, являются ли они точками минимума или максимума:

1. x = 0: y = 3(0)^2 + (0)^3 = 0

2. x = -2: y = 3(-2)^2 + (-2)^3 = 3(4) - 8 = 4

Таким образом, получили две точки экстремума: (0, 0) - точка минимума, и (-2, 4) - точка максимума.