Question

Дана функция y=x^2-x^3. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции б) точки экстремума

Answer 1

Дана функция y=x^2-x^3.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции  и

точек экстремума находим производную заданной функции.

y' = 2x -3x² = x(2 - 3x). Приравниваем нулю:

x(2 - 3x) = 0. Отсюда первый корень х = 0.

Далее: 2 - 3x = 0,   x = 2/3.

Найдены критические точки, которые могут быть экстремумами:

х_1 = 0 и  х_2 = √(2/3).

Определяем их свойства по знакам производной:

х =  -1       0       0,5       (2/3)        1    

y' = -5 0 0,25 0      -1 .     Получаем ответ:

а) промежуток возрастания (производная положительна) (0; 2/3),

промежутки убывания функции  (-∞; 0) и ((2/3); +∞).

б) точки экстремума: максимум ((2/3); 0,148148) и минимум (0; 0).

Answer 2

Для данной функции y = x^2 - x^3, мы сможем найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума, используя производную функции.

а) Промежутки возрастания и убывания функции:

1. Найдем производную функции y = x^2 - x^3 по переменной x: dy/dx = d/dx (x^2 - x^3) = 2x - 3x^2

2. Найдем точки, где производная равна нулю: 2x - 3x^2 = 0

3. Решим уравнение: x(2 - 3x) = 0

Таким образом, x = 0 или 2 - 3x = 0.

Для первого случая: x = 0. Для второго случая: 2 - 3x = 0 => 3x = 2 => x = 2/3.

Таким образом, у нас две критические точки: x = 0 и x = 2/3.

Теперь найдем знаки производной в промежутках между и за пределами критических точек, чтобы определить промежутки возрастания и убывания:

• Проверим, что производная у нас меньше нуля в интервале (-∞, 0): dy/dx = 2x - 3x^2. Подставим x = -1 (произвольное число меньше 0): dy/dx = 2(-1) - 3(-1)^2 = -2 - 3 = -5 (отрицательно)

• Проверим, что производная у нас больше нуля в интервале (0, 2/3): dy/dx = 2x - 3x^2. Подставим x = 1 (произвольное число между 0 и 2/3): dy/dx = 2(1) - 3(1)^2 = 2 - 3 = -1 (отрицательно)

• Проверим, что производная у нас меньше нуля в интервале (2/3, ∞): dy/dx = 2x - 3x^2. Подставим x = 1 (произвольное число больше 2/3): dy/dx = 2(2/3) - 3(2/3)^2 = 4/3 - 4/9 = 4/9 (положительно)

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (2/3, ∞) и убывает на интервале (0, 2/3).

б) Точки экстремума:

Точки экстремума - это точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует. Мы уже выяснили, что у нас есть две критические точки, x = 0 и x = 2/3.

Для x = 0: dy/dx = 2x - 3x^2. Подставим x = 0: dy/dx = 2(0) - 3(0)^2 = 0 (ноль)

Для x = 2/3: dy/dx = 2x - 3x^2. Подставим x = 2/3: dy/dx = 2(2/3) - 3(2/3)^2 = 4/3 - 4/9 = 4/9 (не ноль)

Таким образом, у нас есть точка экстремума при x = 0, которая является минимумом, и у нас есть точка экстремума при x = 2/3, которая является максимумом.