Question

Y=4x^5-5x^4 1. Область определения. 2. Производная. 3. Стационарные точки (f'(x)=0) 4. Промежутки возрастания и убывания. 5. Точки экстреума и значения функции в этих точках (•) ax

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию f(x) = 4x^5 - 5x^4 и ответим на каждый из вопросов:

1. Область определения: Область определения - это множество всех значений x, для которых функция f(x) определена. В данном случае, функция является полиномом, и полиномы определены для всех действительных значений x. Таким образом, область определения f(x) = 4x^5 - 5x^4 - это множество всех действительных чисел, т.е., (-∞, +∞).

2. Производная: Чтобы найти производную функции f(x), возьмем производную каждого слагаемого по отдельности, используя правило степенной производной и линейности производной:

f'(x) = d/dx(4x^5) - d/dx(5x^4)

После вычислений:

f'(x) = 20x^4 - 20x^3

3. Стационарные точки (f'(x) = 0): Стационарные точки - это точки, в которых производная функции равна нулю. Найдем эти точки, приравнивая производную к нулю:

20x^4 - 20x^3 = 0

Вынесем общий множитель:

20x^3(x - 1) = 0

Таким образом, стационарные точки имеются при x = 0 (кратность 3) и x = 1.

4. Промежутки возрастания и убывания: Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, рассмотрим знак производной f'(x) на различных интервалах.

a) При x < 0: Подставим x = -1 в f'(x):

f'(-1) = 20(-1)^4 - 20(-1)^3 = 20 - 20 = 0

f'(x) меняет знак с отрицательного на положительное при переходе от интервала (-∞, 0) к интервалу (0, 1). Значит, функция возрастает на интервале (-∞, 0).

b) При 0 < x < 1: Подставим x = 0.5 в f'(x):

f'(0.5) = 20(0.5)^4 - 20(0.5)^3 = 20 * 0.0625 - 20 * 0.125 = 1.25 > 0

f'(x) положительна на этом интервале, что означает, что функция возрастает на интервале (0, 1).

c) При x > 1: Подставим x = 2 в f'(x):

f'(2) = 20(2)^4 - 20(2)^3 = 20 * 16 - 20 * 8 = 160 > 0

f'(x) положительна на этом интервале, что означает, что функция возрастает на интервале (1, +∞).

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (0, +∞).

5. Точки экстремума и значения функции в этих точках: Точки экстремума - это точки, где производная равна нулю. Мы уже выяснили, что такими точками являются x = 0 и x = 1. Теперь найдем значения функции в этих точках:

a) x = 0: f(0) = 4(0)^5 - 5(0)^4 = 0

Точка (0, 0) является точкой перегиба.

b) x = 1: f(1) = 4(1)^5 - 5(1)^4 = 4 - 5 = -1

Точка (1, -1) является точкой минимума.

Таким образом, у нас есть точка минимума (1, -1) и точка перегиба (0, 0).