Question

F(x)=(x²-1)/(x²+1) Найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума. Пожалуйста помогите решить...​

Answer 1

$f(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2}+1}$

Определим производную функции по формуле: $f'\bigg(\dfrac{v}{u} \bigg) = \dfrac{v'u - u'v}{u^{2}}$

$f'(x) = \dfrac{(x^{2} - 1)'(x^{2}+1) - (x^{2}+1)'(x^{2} - 1)}{(x^{2}+1)^{2}} =\\\\= \dfrac{2x(x^{2}+1) - 2x(x^{2} - 1)}{(x^{2}+1)^{2}} = \dfrac{2x(x^{2}+1 - x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{2}} = \dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}$

Определим критические точки, приравняв к нулю значение производной:

$\dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}} = 0$

$D(f'(x)): (x^{2}+1)^{2}\neq 0; \ x \in \mathbb{R}$

$4x = 0; \ x = 0$

Определим промежутки возрастания, убывания и точки экстремума (выбираем из каждого промежутка какое-нибудь число и подставляем его в производную, и проверяем её знак):

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \text{min} \ \ \ \ \ \ + \\------- \circ------> x\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \searrow \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \nearrow$

Итак,

1) функция возрастает на промежутке $x \in (0; \ + \infty)$

2) функция убывает на промежутке $x \in (-\infty; \ 0)$

3) $x_{\text{min}} = 0; \ \ \ y_{\text{min}} = -1$

Для нахождения $y_{\text{min}}$ мы подставляем значение $x_{\text{min}}$ в значение функции.

Ответ:

1) функция возрастает на промежутке $x \in (0; \ + \infty)$

2) функция убывает на промежутке $x \in (-\infty; \ 0)$

3) $x_{\text{min}} = 0; \ \ \ y_{\text{min}} = -1$

Answer 2

Для анализа промежутков возрастания и убывания функции F(x) = (x² - 1)/(x² + 1) и нахождения точек экстремума, следует выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти производную функции F(x). Шаг 2: Решить уравнение F'(x) = 0, чтобы найти критические точки. Шаг 3: Определить интервалы возрастания и убывания, используя знаки производной на разных участках. Шаг 4: Найти точки экстремума, проверив значения производной в критических точках.

Шаг 1: Найдем производную функции F(x): F(x) = (x² - 1)/(x² + 1)

Используем правило дифференцирования дроби (u/v)' = (u'v - uv') / v²: F'(x) = ((x² + 1)(2x) - (x² - 1)(2x)) / (x² + 1)² F'(x) = (2x³ + 2x - 2x³ + 2x) / (x² + 1)² F'(x) = (4x) / (x² + 1)²

Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение F'(x) = 0: (4x) / (x² + 1)² = 0

Так как знаменатель не может быть равен нулю, решим числитель равенства: 4x = 0 x = 0

Шаг 3: Определим интервалы возрастания и убывания, используя знаки производной.

Для этого построим таблицу знаков производной F'(x) на разных интервалах:

Интервал	F'(x)
x < -1	(-)
-1 < x < 0	(-)
0 < x < 1	(+)
x > 1	(+)

Шаг 4: Найдем точки экстремума, проверив значения производной в критических точках.

• Критическая точка x = 0: При x = 0, F'(0) = (4 * 0) / (0² + 1)² = 0, значит, у этой точки может быть экстремум.

Теперь посмотрим знаки производной в окрестности критической точки:

• При x < 0, F'(x) < 0, что означает убывание функции.
• При x > 0, F'(x) > 0, что означает возрастание функции.

Таким образом, у точки x = 0 есть локальный минимум.

Резюмируя:

• Промежутки возрастания: (-∞, -1) и (0, +∞)
• Промежутки убывания: (-1, 0)
• Точка экстремума: x = 0 (локальный минимум)