Question

Найдите производную функции у=2√х(1-х)

Answer 1

$y=2\sqrt{x(1-x)}=2\sqrt{x-x^{2} }\\\\y'=2(\sqrt{x-x^{2} })'=2*\frac{1}{2\sqrt{x-x^{2}}}*(x-x^{2})'=\frac{1-2x}{\sqrt{x-x^{2}}}$

Answer 2

Для нахождения производной функции у = 2√(х(1-х)), вам потребуется использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule) и правило дифференцирования произведения функций (product rule).

Давайте разберемся по шагам:

Шаг 1: Представьте функцию у как произведение двух функций: у = 2√(х) * √(1-х).

Шаг 2: Примените правило произведения функций (product rule) для нахождения производной первого слагаемого:

(d/dx) [2√(х)] = 2 * (1/2) * (х)^(-1/2) = (х)^(-1/2).

Шаг 3: Примените правило дифференцирования квадратного корня для второго слагаемого:

(d/dx) [√(1-х)] = (1/2) * (1-х)^(-1/2).

Шаг 4: Теперь примените правило произведения функций (product rule) для нахождения производной всей функции:

(d/dx) [у] = (d/dx) [2√(х)] * √(1-х) + 2√(х) * (d/dx) [√(1-х)] = (х)^(-1/2) * √(1-х) + 2√(х) * (1/2) * (1-х)^(-1/2).

Таким образом, производная функции у = 2√(х(1-х)) будет равна:

(d/dx) [у] = (х)^(-1/2) * √(1-х) + √(х) * (1-х)^(-1/2).

Вы можете упростить эту производную еще дальше, если требуется.