Question

Знайти максимум функції: f(x)= -12x + x³

Answer 1

Ответ:

Точка максимума функции х = -2, значение функции в этой точке

f(-2) = 16

Объяснение:

Перевод: Найти максимум функции f(x) = -12·x + x³.

Нужно знать: 1) Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

2) Признак максимума функции: Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.

Решение. Вычислим производную от функции:

f '(x) = (-12·x + x³)' = (-12·x)' + (x³)' = -12 + 3·x².

Приравниваем производную от функции к нулю:

f '(x) = 0 ⇔ -12 + 3·x² = 0 ⇔ x² - 4 = 0 ⇔ x² - 2² = 0 ⇔

⇔ (x - 2)·(x + 2) = 0 ⇒ x₁ = -2, x₂ = 2.

Определим знак производной на интервалах (-∞; -2), (-2; 2) и (2; +∞).

а) -3∈(-∞; -2): f '(-3) = -12 + 3·(-3)² = -12 + 27 = 15 > 0,

б) 0∈(-2; 2):  f '(0) = -12 + 3·0² = -12 + 0 = -12 < 0,

в) 3∈(2; +∞): f '(3) = -12 + 3·3² = -12 + 27 = 15 > 0.

По вышеприведённому признаку определяем: точка х = -2 - точка максимума.

Определим значение функции в точке максимуму х = -2:

f(-2) = -12·(-2) + (-2)³ = 24 - 8 = 16.

#SPJ1

Answer 2

Для знаходження максимуму функції f(x) = -12x + x³ потрібно спершу знайти похідну функції і прирівняти її до нуля, щоб знайти критичні точки. Після цього можна буде з'ясувати, чи ці точки є максимумами, мінімумами або точками перегину за допомогою тесту другої похідної.

1. Знайдемо похідну f'(x) від функції f(x): f'(x) = d/dx (-12x + x³) f'(x) = -12 + 3x²

2. Знайдемо критичні точки, прирівнявши похідну до нуля та розв'язавши рівняння: -12 + 3x² = 0 3x² = 12 x² = 4 x = ±√4 x = ±2

Таким чином, отримали дві критичні точки: x = 2 та x = -2.

3. З'ясуємо, чи ці критичні точки є максимумами або мінімумами, використовуючи тест другої похідної. Знайдемо f''(x) - другу похідну функції f(x): f''(x) = d/dx (f'(x)) f''(x) = d/dx (-12 + 3x²) f''(x) = 6x

4. Підставимо критичні точки x = 2 та x = -2 у другу похідну: f''(2) = 6 * 2 = 12 f''(-2) = 6 * (-2) = -12

Якщо значення другої похідної f''(x) більше за нуль (f''(x) > 0), то функція має мінімум у даній точці. Якщо значення другої похідної менше за нуль (f''(x) < 0), то функція має максимум у даній точці.

• Для x = 2: f''(2) = 12 > 0, отже, це мінімум.
• Для x = -2: f''(-2) = -12 < 0, отже, це максимум.

Таким чином, максимум функції f(x) = -12x + x³ досягається при x = -2, і його значення буде f(-2) = -12 * (-2) + (-2)³ = 24 - 8 = 16.