Question

Найти сумму ряда ∑_(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1))

Answer 1

Ответ:

для  |x|>1 ряд ∑(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1))  -расходится

 для  x∈ [-1;1)   ∑(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1))=(x^4-x^5)*ln(1-x) +x^5,в частности  для  x=0,сумма  равна 0 , для x=-1 сумма равна: 2ln(2) - 1.

для x=1     ∑(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1))=1

Объяснение:

Очевидно,  что  для  |x|>1

модуль общего  член ряда :  lim (n→∞) (x^(n+5)/(n*(n+1)) =[∞]    

Вывод : ряд расходится.

Теперь рассмотрим основной случай:

x∈ [-1;1)

В  этом случае  преобразуем n-член  ряда в виде:

x^(n+5)/(n*(n+1))=  x^(n+5)* (1/n -1/(n+1) )= x^5* (x^n/n)  -x^4* (x^(n+1)/(n+1))

Известное разложение в ряд :

ln(1+x)=∑(n=1;∞) ( (-1)^(n-1) *x^(n)/n) )  для x∈ (-1;1]

тогда:

ln(1-x)= ∑(n=1;∞) ( (-1)^(n-1) *(-x)^(n)/n) )=∑(n=1;∞) (-1)^(2n-1) *(x^n)/n) )=

-∑(n=1;∞) (x^n/n)  для  x∈[-1;1)

∑(n=1;∞) (x^n/n)=-ln(1-x)

∑(n=1;∞) (x^(n+1)/(n+1) )= ∑(n=1;∞) (x^n/n)  -x=-ln(1-x) -x  (поскольку,  это  тот же ряд что  и ∑(n=1;∞) (x^n/n) ,только начинается со второго  члена  этого ряда, а первый член ряда :  x^(1)/1=x)

Тогда:

∑(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1))=x^5*( -ln(1-x) )  -x^4*(-ln(1-x) -x) =

=-x^5*ln(1-x)+x^4*ln(1-x) +x^5= (x^4-x^5)*ln(1-x) +x^5

∑(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1))= (x^4-x^5)*ln(1-x) +x^5 ,при  x∈ (-1;1]

Примечание: заметим ,что область сходимости ряда            ∑(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1)) такая же  как и  у ряда                   -∑(n=1;∞) (x^n/n)=ln(1-x) ,то есть x∈ x∈[-1;1) ( 1  не включается их за неопределенности значения  ln(0) ) .

Действительно  :

∑(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1))=(x^4-x^5)* ∑(n=1;∞) ( - x^n/n) +x^5 ,тк  x-константа не зависящая от n, то мы получили линейное преобразование  ряда  ∑(n=1;∞) ( - x^n/n) ,а следовательно области сходимости ряда не поменялась.

Ну а теперь особенный случай:  x=1

Ряд  принимает вид:

∑(n=1;∞) (1/n*(n+1) )=∑(n=1;∞) (1/n -1/(n+1) ) =(1-1/2) +(1/2-1/3) ...+(1/n -1/(n+1))

Очевидно  ,что все члены кроме  1 и -1/(n+1) взаимно уничтожаются.

Таким образом  эта сумма равносильна пределу:

∑(n=1;∞) (1/n*(n+1) )=lim (n→∞) (1-1/(n+1) ) = 1.

Answer 2

Для нахождения суммы ряда ∑_(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1)), сначала преобразуем его в более удобный вид.

Начнем с выражения x^(n+5) в виде x^n * x^5:

∑_(n=1;∞) (x^n * x^5) / (n * (n+1))

Теперь разделим на две суммы:

∑_(n=1;∞) (x^n / n) * (x^5 / (n+1))

Разобьем на две суммы, так как произведение двух сумм равно сумме произведений:

∑_(n=1;∞) (x^n / n) * ∑_(n=1;∞) (x^5 / (n+1))

Теперь мы должны раскрыть обе суммы по формулам для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и для суммы бесконечного геометрического ряда:

Для первой суммы: ∑_(n=1;∞) (x^n / n) = -ln(1 - x)

Для второй суммы: ∑_(n=1;∞) (x^5 / (n+1)) = x^5 * ∑_(n=1;∞) (1/(n+1)) = x^5 * (-ln(1 - (1/x)))

Таким образом, исходный ряд примет вид:

-ln(1 - x) * (x^5 * (-ln(1 - (1/x))))

Теперь, чтобы найти сумму ряда, остается упростить это выражение. Давайте начнем:

-ln(1 - x) * (x^5 * (-ln(1 - (1/x))))

Первый шаг - убрать минус перед логарифмом:

ln(1 - x) * (x^5 * ln(1 - (1/x)))

Далее, можно перемножить логарифмы:

ln(1 - x) * ln(1 - (1/x)) = ln((1 - x) * (1 - (1/x)))

Затем, можно упростить выражение в скобках:

(1 - x) * (1 - (1/x)) = (1 - x) * ((x - 1)/x) = (x - x^2 - 1 + x) / x = (2x - x^2 - 1) / x

Теперь выражение станет:

ln((2x - x^2 - 1) / x)

Таким образом, сумма ряда ∑_(n=1;∞) x^(n+5)/(n*(n+1)) равна ln((2x - x^2 - 1) / x).