Question

ДАЮ 40 БАЛЛОВ решите неравенство |2x^2+3x-14|+|4-x^2| =< |x^2+3x-10|

Answer 1

$|2(x+3.5)(x-2)|+|(2-x)(x+2)|-|(x+5)(x-2)|$

Заметим что если |2x^2+3x-14| будет больше нуля, тогда минимум функции будет достигаться в случае когда все модули раскроются с знаком+:

$2x^2-x^2-x^2+3x-3x-14+4+10==0$

То-есть при |2x^2+3x-14|>0 минимальное значение 0.

при |2x^2+3x-14|<0 минимальное значение будет достигаться когда все модули раскроются с знаком-.

$-2x^2+x^2+x^2-3x+3x+14-10-4==0$

То-есть как бы не раскрылись модули минимальное значение функции будет 0.

-----------------

Осталось только найти такие промежутки при которых:

• $(x+3.5)(x-2)\geq 0$
• $(2-x)(2+x)\geq 0$

• $(x+5)(x-2)\geq 0$

И

• $(x+3.5)(x-2)\leq 0$
• $(2-x)(2+x)\leq 0$

• $(x+5)(x-2)\leq 0$

Решив эту систему уравнений методом интервалов мы получаем ответ:

x∈[-3.5;-2]∪{2}

Answer 2

Для решения данного неравенства, нам нужно разбить его на несколько частей, исходя из различных значений выражений под модулями. Затем мы проверим каждую часть неравенства отдельно.

Итак, рассмотрим различные случаи:

1. Если выражение под первым модулем (|2x^2 + 3x - 14|) и выражение под вторым модулем (|4 - x^2|) положительны, то и выражение под модулем справа (|x^2 + 3x - 10|) также должно быть положительным. В этом случае, неравенство можно записать как:

(2x^2 + 3x - 14) + (4 - x^2) ≤ (x^2 + 3x - 10)

2. Если выражение под первым модулем (|2x^2 + 3x - 14|) и выражение под вторым модулем (|4 - x^2|) отрицательны, то и выражение под модулем справа (|x^2 + 3x - 10|) также должно быть отрицательным. В этом случае, неравенство можно записать как:

-(2x^2 + 3x - 14) - (4 - x^2) ≤ -(x^2 + 3x - 10)

Теперь решим каждое из полученных неравенств отдельно:

Первый случай:

(2x^2 + 3x - 14) + (4 - x^2) ≤ (x^2 + 3x - 10)

Упростим:

2x^2 + 3x - 14 + 4 - x^2 ≤ x^2 + 3x - 10

Теперь объединим переменные слева и справа:

x^2 + 3x - 10 ≤ x^2 + 3x - 10

Так как выражения с обеих сторон равны, неравенство верно для любого значения x.

Второй случай:

-(2x^2 + 3x - 14) - (4 - x^2) ≤ -(x^2 + 3x - 10)

Упростим:

-2x^2 - 3x + 14 - 4 + x^2 ≤ -x^2 - 3x + 10

Теперь объединим переменные слева и справа:

-x^2 - 3x + 10 ≤ -x^2 - 3x + 10

Так как выражения с обеих сторон равны, неравенство также верно для любого значения x.

Таким образом, исходное неравенство верно для всех значений x. Ответ: любое значение x удовлетворяет неравенству.