Question

X^2+px+p-3=0 имеет два корня

Answer 1

x^2 + px + (p - 3) = 0

D = p^2 - 4p + 12

D > 0 (условие существования 2 корней)

p^2 - 4p + 12 > 0

p^2 - 4p + 12 = 0

D = 16 - 48 = -32 < 0 - нет корней

p^2 - 4p + 12 > 0

p € R

Ответ : p - любое вещественное число

Answer 2

Если уравнение $x^2 + px + p - 3 = 0$ имеет два корня, то это означает, что дискриминант $D$ этого квадратного уравнения положителен.

Дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

В данном случае $a = 1$, $b = p$, и $c = p - 3$. Подставим значения в формулу дискриминанта:

$D = p^2 - 4(1)(p - 3) = p^2 - 4p + 12$.

Чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы $D > 0$:

$p^2 - 4p + 12 > 0$.

Теперь найдем интервалы, в которых выполняется неравенство. Для этого можно проанализировать график квадратного трехчлена или воспользоваться квадратным трехчленом как функцией, исследовать его поведение.

Дискриминант положителен, когда его график выше оси $x$. Таким образом, нам нужно найти интервалы, на которых $p^2 - 4p + 12 > 0$.

Для нахождения этих интервалов, рассмотрим факторизацию $p^2 - 4p + 12$:

$p^2 - 4p + 12 = (p - 2)^2 + 8$.

Теперь выражение стало квадратом с сдвигом вверх на 8 единиц относительно $p = 2$. Значит, для всех $p$, кроме интервала, включающего $p = 2$, выражение $p^2 - 4p + 12$ будет больше нуля.

Таким образом, квадратное уравнение $x^2 + px + p - 3 = 0$ имеет два корня для всех $p$, кроме некоторого интервала, включающего значение $p = 2$.