Question

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции f(x)=cos^2x-cosx на отрезке [0;п/4]

Answer 1

Решение f(x) = cos^2(x) - cos(x)

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $f(x) = \cos^2x - \cos x$ на отрезке $[0, \frac{\pi}{4}]$, следует проанализировать функцию на этом интервале.

Сначала найдем производную функции $f'(x)$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

$f'(x) = \frac{d}{dx} (\cos^2x - \cos x) = -\sin x(2\cos x - 1).$

Чтобы найти критические точки, приравняем $f'(x)$ к нулю и решим уравнение:

$0 = -\sin x(2\cos x - 1).$

Таким образом, $x = 0$ или $2\cos x - 1 = 0$.

1. При $x = 0$, $f(x) = \cos^2(0) - \cos(0) = 1 - 1 = 0$.

2. Когда $2\cos x - 1 = 0$, $\cos x = \frac{1}{2}$, что имеет два решения на заданном интервале $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{6}$. Вычислим значения функции в этих точках:

f\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \\ &= -\frac{1}{4}, \end{aligned}\] \[\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{6}\right) &= \cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \\ &= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{3 - 2\sqrt{3}}{4}. \end{aligned}\] Теперь осталось проверить значения функции на границах отрезка \([0, \frac{\pi}{4}]\): 1. При \(x = 0\), \(f(x) = 0\). 2. При \(x = \frac{\pi}{4}\), \(f(x) = \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}.\) Таким образом, наименьшее значение функции на интервале \([0, \frac{\pi}{4}]\) равно \(-\frac{1}{4}\), и оно достигается в точке \(x = \frac{\pi}{3}\). Наибольшее значение функции равно \(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\), и оно достигается в точке \(x = \frac{\pi}{4}\).