Question

ДАМ 30 БАЛЛОВ!!! Положительные числа x, y, z удовлетворяют условию x²+y²+z²=1. Докажите, что x²yz+xy²z+xyz²≤.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:      Решение : ////////////////////////

Answer 2

Для доказательства неравенства x²yz + xy²z + xyz² ≤ 1, используем метод математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай При x² + y² + z² = 1, рассмотрим ситуацию, когда хотя бы одна из переменных x, y или z равна нулю. Без потери общности, предположим, что x = 0 (случаи, когда y или z равны нулю, рассматриваются аналогично). Тогда выражение x²yz + xy²z + xyz² принимает значение 0, что меньше или равно 1.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что неравенство x²yz + xy²z + xyz² ≤ 1 выполняется для всех положительных чисел x, y, z, таких что x² + y² + z² = 1.

Шаг 3: Доказательство для n+1 Рассмотрим x, y, z такие, что x² + y² + z² = 1, и пусть n = x² + y². Мы можем записать n+1 = x² + y² + z².

Теперь заметим, что:

x²yz + xy²z + xyz² = xyz(x + y + z) = xyz(x² + y² + z²) = xyz(n + z²)

Так как x² + y² + z² = n + 1, то z² = (n + 1) - n = 1.

Теперь нам нужно доказать, что xyz(n + 1) ≤ 1.

По предположению индукции, мы знаем, что x²yz + xy²z + xyz² ≤ 1, и теперь мы хотим доказать, что xyz(n + 1) ≤ 1.

Для того чтобы доказать это неравенство, рассмотрим два случая:

Случай 1: xyz ≤ 1 Если xyz ≤ 1, то xyz(n + 1) ≤ xyz * (n + 1) = xyzn + xyz = x²yz + xy²z + xyz² + xyz ≤ 1 + 1 = 2

Случай 2: xyz > 1 Если xyz > 1, то z > 1, что приводит к противоречию с условием x² + y² + z² = 1, так как это означает, что x² + y² + z² > 1.

Таким образом, единственным возможным случаем является случай 1, где xyz ≤ 1, и следовательно, xyz(n + 1) ≤ 2.

Таким образом, мы показали, что x²yz + xy²z + xyz² ≤ xyz(n + 1) ≤ 2, что меньше или равно 1.

По заключению, для положительных чисел x, y, z, удовлетворяющих условию x² + y² + z² = 1, верно неравенство x²yz + xy²z + xyz² ≤ 1.