Question

Помогите решить задание из демоверсии ЕГЭ №15 (Матем Профиль,кто шарит) (2ˣ⁺⁵ - 2⁻ˣ)/(2³⁻ˣ - 4⁻ˣ) ≥ 2ˣ

Answer 1

Тут надо 20 символов, поэтому я просто напишу

Answer 2

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом. Исходное неравенство:

(2ˣ⁺⁵ - 2⁻ˣ)/(2³⁻ˣ - 4⁻ˣ) ≥ 2ˣ

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

(2ˣ⁺⁵ - 2⁻ˣ)/(2³⁻ˣ - 4⁻ˣ) - 2ˣ ≥ 0

Теперь найдем общий знаменатель для дроби:

Общий знаменатель для (2³⁻ˣ - 4⁻ˣ) и 2ˣ это 2³⁻ˣ:

(2ˣ⁺⁵ - 2⁻ˣ) / 2³⁻ˣ - 2^3ˣ * 2ˣ / 2³⁻ˣ ≥ 0

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

(2ˣ⁺⁵ - 2⁻ˣ - 2^3ˣ * 2ˣ) / 2³⁻ˣ ≥ 0

Для удобства, представим числа 2ˣ в виде 2³ˣ:

(2³ˣ * 2² - 2⁻ˣ - 2^3ˣ * 2ˣ) / 2³⁻ˣ ≥ 0

Теперь объединим числа 2³ˣ:

(2³ˣ(2² - 2ˣ) - 2⁻ˣ) / 2³⁻ˣ ≥ 0

Сократим 2³ˣ на обоих сторонах:

(2² - 2ˣ) - 2⁻ˣ ≥ 0

Теперь представим 2 в виде 2ˣ:

(4 - 2ˣ) - 2⁻ˣ ≥ 0

Заменим 2⁻ˣ на 1/2ˣ:

(4 - 2ˣ) - 1/2ˣ ≥ 0

Общий знаменатель для (4 - 2ˣ) и 1/2ˣ это 2ˣ:

(4 * 2ˣ - 2 * 2ˣ - 1) / 2ˣ ≥ 0

Упростим числитель:

(2ˣ - 1) / 2ˣ ≥ 0

Теперь рассмотрим два случая:

1. Когда 2ˣ ≠ 1:

Тогда можно умножить обе стороны на 2ˣ:

2ˣ - 1 ≥ 0

2ˣ ≥ 1

2. Когда 2ˣ = 1:

Заметим, что это является корнем исходного неравенства. Теперь проверим вторую производную:

d²/dx² (2ˣ⁺⁵ - 2⁻ˣ)/(2³⁻ˣ - 4⁻ˣ) - 2ˣ = -ln(2) * 2^(-x) / (2^(-3x) - 2^(-x))^2

При x = 0, вторая производная равна -ln(2), что является отрицательным числом.

Это значит, что x = 1 является максимумом функции, и неравенство не выполняется при x > 1.

Таким образом, мы получаем два интервала, в которых выполняется исходное неравенство:

1. x < 0;
2. 0 < x ≤ 1.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задать их.