Question

Найдите наименьшее значение функции y=(x-9)^2(x+4) на отрезке [7,16]

Answer 1

Решение на фотографиях:

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y=(x-9)^2(x+4) на отрезке [7, 16], следует выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции внутри интервала [7, 16], где находятся локальные минимумы и максимумы.
2. Проверить значения функции в этих критических точках, а также на концах интервала [7, 16].
3. Выбрать минимальное значение из всех полученных значений.

Шаг 1: Найдем критические точки, приравняв производную функции к нулю:

y = (x - 9)^2(x + 4)

y' = 2(x - 9)(x + 4) + (x - 9)^2

Приравняем y' к нулю:

0 = 2(x - 9)(x + 4) + (x - 9)^2

0 = 2(x^2 - 5x - 36) + (x^2 - 18x + 81)

0 = 2x^2 - 10x - 72 + x^2 - 18x + 81

0 = 3x^2 - 28x + 9

Для решения квадратного уравнения, можно использовать дискриминант:

D = b^2 - 4ac

D = (-28)^2 - 4 * 3 * 9

D = 784 - 108

D = 676

Так как дискриминант D положителен, уравнение имеет два корня:

x = (28 + √676) / 6 = (28 + 26) / 6 = 54 / 6 = 9

x = (28 - √676) / 6 = (28 - 26) / 6 = 2 / 6 = 1/3 ≈ 0.333

Шаг 2: Проверим значения функции в полученных критических точках и на концах интервала [7, 16]:

1. Подставим x = 1/3: y = ((1/3) - 9)^2((1/3) + 4) ≈ (-8.667)^2(4.333) ≈ 326.951

2. Подставим x = 9: y = (9 - 9)^2(9 + 4) = 0 * 13 = 0

3. Подставим x = 16: y = (16 - 9)^2(16 + 4) = 7^2 * 20 = 980

Шаг 3: Найдем минимальное значение функции, которое равно 0 при x = 9.

Ответ: Наименьшее значение функции y=(x-9)^2(x+4) на отрезке [7, 16] равно 0 и достигается при x = 9.