Question

Провести исследование функции и построить график f(x)=x^4+4x^2

Answer 1

Насколько я понимаю, график вроде должен выглядеть вот так

Answer 2

Хорошо, давайте проведем исследование функции и построим её график.

Исследование функции f(x) = x^4 + 4x^2 включает следующие шаги:

1. Найдем область определения функции.
2. Найдем производную функции и определим интервалы монотонности.
3. Найдем значения функции в критических точках и на бесконечности.
4. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции.
5. Найдем точки перегиба.
6. Нарисуем график функции f(x).

Шаг 1: Область определения функции Функция f(x) определена для всех действительных чисел x. Таким образом, область определения функции f(x) - это весь действительный числовой промежуток (-∞, +∞).

Шаг 2: Производная функции и интервалы монотонности Найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (x^4 + 4x^2) f'(x) = 4x^3 + 8x

Чтобы найти интервалы монотонности, приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

4x^3 + 8x = 0 4x(x^2 + 2) = 0

Критические точки: x = 0 (кратность 2) и x = ±√2.

Теперь построим таблицу знаков производной на разных интервалах:

x	-∞	-√2	0	√2	+∞
f'(x)	-	+	0	+	+
f(x)	Убывает	Возрастает	Локальный минимум	Возрастает	Возрастает

Шаг 3: Значения функции в критических точках и на бесконечности Теперь найдем значения функции в критических точках и при x → ±∞:

f(0) = 0^4 + 4(0)^2 = 0 f(-√2) = (-√2)^4 + 4(-√2)^2 = 2 f(√2) = (√2)^4 + 4(√2)^2 = 2

При x → ±∞, функция стремится к бесконечности: lim (x → ±∞) f(x) = +∞.

Шаг 4: Интервалы выпуклости и вогнутости функции Найдем вторую производную функции f(x):

f''(x) = d/dx (4x^3 + 8x) f''(x) = 12x^2 + 8

Теперь определим интервалы выпуклости и вогнутости, приравняв вторую производную к нулю:

12x^2 + 8 = 0 12x^2 = -8 x^2 = -8/12 x^2 = -2/3

Уравнение не имеет действительных корней, значит, нет точек перегиба.

Шаг 5: Точки перегиба Так как уравнение не имеет действительных корней, то функция не имеет точек перегиба.

Шаг 6: График функции f(x) Теперь нарисуем график функции f(x):

(Вставьте график функции f(x) = x^4 + 4x^2)

На графике видно, что функция f(x) = x^4 + 4x^2 возрастает на всей числовой прямой, имеет локальный минимум в точке x = 0 и стремится к бесконечности при x → ±∞. Также на графике нет точек перегиба, и функция не меняет свою выпуклость или вогнутость.