Question

Доведіть, що 2х^2 – 6ху + 9у^2 – 6х +9 0 при усіх дійсних значеннях х і у.

Answer 1

Доказательство:

2х^2 – 6ху + 9у^2 – 6х +9 = (х^2 – 6ху + 9у^2) + (х^2 – 6х +9) = (х - 3у)^2 + (х - 3)^2 ;

Так как (х - 3у)^2 ≥ 0 и (х - 3)^2 ≥ 0 для любых действительных х и у, то и вся сумма (х - 3у)^2 + (х - 3)^2 ≥ 0 при всех действительных значениях х и у.

Answer 2

Щоб довести, що вираз 2х^2 - 6ху + 9у^2 - 6х + 9 завжди дорівнює 0 для всіх дійсних значень х і у, ми мусимо показати, що вираз є тотожньо нульовим (тобто дорівнює 0 для будь-яких х і у).

1. Розглянемо вираз в скобках 2х^2 - 6ху + 9у^2.

Ми можемо спростити його до квадрату двочлена (х - 3у)^2:

2х^2 - 6ху + 9у^2 = (х - 3у)^2.

2. Тепер, якщо ми додаємо до цього виразу +9 (додатнє число), то отримаємо:

(х - 3у)^2 + 9.

3. Тепер зауважимо, що квадрат будь-якого дійсного числа завжди не менше 0 (тобто не від'ємний), або точніше кажучи, (х - 3у)^2 ≥ 0 для будь-яких х і у.

4. Якщо додати до не від'ємного числа додатнє число (9 у нашому випадку), то результат також буде не менше 9.

Отже, (х - 3у)^2 + 9 ≥ 9 для будь-яких х і у.

5. Інакше кажучи, (х - 3у)^2 + 9 не може дорівнювати нулю, оскільки воно завжди більше або дорівнює 9.

Отже, ми довели, що вираз 2х^2 - 6ху + 9у^2 - 6х + 9 не може дорівнювати 0 для будь-яких дійсних значень х і у.