Question

При каких значениях а уравнение x2 - (2a - 6)x +3a + 9 = 0 имеет корни разных знаков?​

Answer 1

Нужно определить при каких значения параметра а, квадратное уравнение имеет корни разных знаков, для этого, используя теорему Виета, решим неравенство :

$3a+9$

С учетом существования корней, получим ответ $a \in (-\infty;-3)$

Answer 2

Для уравнения x^2 - (2a - 6)x + 3a + 9 = 0, чтобы иметь корни разных знаков, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был положительным. Дискриминант вычисляется по формуле D = (b^2 - 4ac), где a, b и c - коэффициенты уравнения.

В данном случае, у нас есть a = 1, b = -(2a - 6) = 6 - 2a и c = 3a + 9. Подставляя значения в формулу дискриминанта, получаем:

D = (6 - 2a)^2 - 4(1)(3a + 9) = 36 - 24a + 4a^2 - 12a - 36 = 4a^2 - 36a

Для того чтобы дискриминант был положительным, необходимо и достаточно, чтобы выражение 4a^2 - 36a было положительным.

Факторизуем это выражение: 4a^2 - 36a = 4a(a - 9)

Теперь, чтобы выражение было положительным, необходимо, чтобы оба множителя были одновременно положительными или отрицательными.

1. 4a > 0 и a - 9 > 0: Это выполняется, когда a > 0 и a > 9. То есть, когда a > 9.

2. 4a < 0 и a - 9 < 0: Это выполняется, когда a < 0 и a < 9. То есть, когда a < 0.

Итак, при значениях a, таких что a < 0 или a > 9, уравнение x^2 - (2a - 6)x + 3a + 9 = 0 будет иметь корни разных знаков.