Question

Найдите критические точки функции f(x)=(х^2-2х-3)^2

Answer 1

Ответ:

====================================

Объяснение:

Answer 2

Ищем производную:

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

$f'(x)=2(x^2-2x-3)\cdot(2x-2); f'(x)=0:\\ (x^2-2x-3)(x-1)=0;$

Имеем совокупность:

$\left [ {{x^2-2x-3=0} \atop {x-1=0}} \right.$

1-е уравнение с $b=a+c \Rightarrow \left [ {{x=-1} \atop {x=-\frac{c}{a} =3}} \right.$

2-е уравнение $x=1$

Можно ещё значения функции в точках найти:

$f(-1)=((-1)^2-2(-1)-3)^2=(1+2-3)^2=0;\\ f(1)=(1^2-2-3)^2=(-4)^2=16;\\ f(3)=(3^2-2\cdot3-3)^2=(9-6-3)^2=0$

Имеем точки $(-1;0); (1;16); (3;0)$

Answer 3

Для нахождения критических точек функции f(x) = (x^2 - 2x - 3)^2, необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) по x.

f(x) = (x^2 - 2x - 3)^2

Для упрощения вычислений воспользуемся правилом цепного дифференцирования:

(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

где f'(x) - производная функции f(x), а g(x) - внутренняя функция.

Поэтому

f'(x) = 2 * (x^2 - 2x - 3) * (2x - 2) f'(x) = 2 * (x^2 - 2x - 3) * 2(x - 1) f'(x) = 4 * (x^2 - 2x - 3) * (x - 1)

Шаг 2: Найдем значения x, при которых производная равна нулю, то есть f'(x) = 0.

4 * (x^2 - 2x - 3) * (x - 1) = 0

Теперь решим уравнение:

x^2 - 2x - 3 = 0 или x - 1 = 0

Из первого уравнения получаем:

(x - 3)(x + 1) = 0

Таким образом, x может быть либо 3, либо -1.

Из второго уравнения получаем:

x = 1

Шаг 3: Проверим, являются ли найденные значения критическими точками функции f(x).

Для этого воспользуемся второй производной тестом. Найдем вторую производную функции f(x):

f''(x) = d/dx [4 * (x^2 - 2x - 3) * (x - 1)] f''(x) = 4 * [(2x - 2) * (x - 1) + (x^2 - 2x - 3)]

Теперь подставим значения x = 3, x = -1 и x = 1 во вторую производную:

1. x = 3:

f''(3) = 4 * [(2 * 3 - 2) * (3 - 1) + (3^2 - 2 * 3 - 3)] f''(3) = 4 * [4 * 2 + 3] f''(3) = 4 * 11 f''(3) = 44

2. x = -1:

f''(-1) = 4 * [(2 * (-1) - 2) * ((-1) - 1) + ((-1)^2 - 2 * (-1) - 3)] f''(-1) = 4 * [(-4) * (-2) + 0] f''(-1) = 4 * 8 f''(-1) = 32

3. x = 1:

f''(1) = 4 * [(2 * 1 - 2) * (1 - 1) + (1^2 - 2 * 1 - 3)] f''(1) = 4 * [0 * 0 - 4] f''(1) = 4 * (-4) f''(1) = -16

Поскольку f''(3) = 44 (положительное), f''(-1) = 32 (положительное) и f''(1) = -16 (отрицательное), то полученные значения x = 3 и x = -1 являются точками минимума, а x = 1 - точкой максимума функции f(x) = (x^2 - 2x - 3)^2.