Question

У прямокутному трикутнику гіпотнуза дорівнює 20 см, а кут між бісектрисою і медіаною, які проведено з вершини прямого кута, - 15°.Знайти катети трикутника.

Answer 1

Гипотенуза прямоугольного треугольника - диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника.

Точка О - равноудалена от вершин А,В и С.

АО=ВО=СО=10

СО - медиана.

Значит, СО=10 см

Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам ( катетам)

АС > BC

поэтому

АК > ВК

Δ СОВ - равнобедренный ( СО=ВО) с острым углом ОСВ=60 градусов при основании.

Значит этот треугольник равносторонний

ВС=10 cм

АС=ВС·tg 60°=10·√3 см

Answer 2

Давайте позначимо катети прямокутного трикутника як a і b. За теоремою Піфагора, гіпотенуза (20 см) пов'язана з катетами за формулою:

гіпотенуза² = катет₁² + катет₂²

20² = a² + b² 400 = a² + b²

Тепер нам потрібно знайти катети a і b. Для цього нам знадобиться інформація про кут між бісектрисою і медіаною, які проведені з вершини прямого кута.

Оскільки бісектриса і медіана, проведені з вершини прямого кута, утворюють кут 15°, ми можемо скористатися тригонометричним співвідношенням для тангенсу (тангенс кута дорівнює протилежному катету поділеному на прилеглий катет). Таким чином, ми можемо записати:

tan(15°) = протилежний катет / прилеглий катет

Тангенс 15° дорівнює 0.26795 (заокруглюємо до п'яти знаків після коми).

Тепер ми можемо сформулювати рівняння на основі відомих відношень:

a / b = 0.26795

Ми маємо два невідомих, тому нам потрібна ще одна рівність, щоб вирішити систему рівнянь. Можемо скористатися фактом, що бісектриса ділить протилежний катет навпіл. Таким чином, ми можемо записати:

a = 2c

Де c - протилежний катет.

Заміняємо це значення в першому рівнянні:

(2c) / b = 0.26795

Тепер ми маємо систему рівнянь:

400 = (2c)² + b² (2c) / b = 0.26795

Ми можемо розв'язати цю систему рівнянь, щоб знайти значення катетів a і b.