Question

Решите с помощью метода интервалов неравенство: (x-3) (x-4)/x-5 > 0

Answer 1

_____3___4_____5______

 -           +         -           +

х∈(3;4)∪(5;+∞)

Answer 2

Для решения неравенства с помощью метода интервалов, нужно выяснить, на каких интервалах выражение (x-3)(x-4)/(x-5) больше нуля (положительно).

1. Найдем значения x, при которых выражение равно нулю:

(x-3)(x-4)/(x-5) = 0

Это произойдет, когда один из множителей равен нулю:

x - 3 = 0 => x = 3 x - 4 = 0 => x = 4 x - 5 = 0 => x = 5

Таким образом, неравенство может менять знак в точках x = 3, x = 4 и x = 5.

2. Разделим числовую прямую на интервалы, используя найденные значения:

Интервал 1: x < 3 Интервал 2: 3 < x < 4 Интервал 3: 4 < x < 5 Интервал 4: x > 5

3. Возьмем по одной точке из каждого интервала и проверим знак выражения:

Интервал 1 (x < 3): Пусть x = 0: (-3)(-4)/(-5) = 12/5 > 0

Интервал 2 (3 < x < 4): Пусть x = 3.5: (0.5)(-0.5)/(-1.5) = -0.166... < 0

Интервал 3 (4 < x < 5): Пусть x = 4.5: (1.5)(0.5)/(-0.5) = -1.5 < 0

Интервал 4 (x > 5): Пусть x = 6: (3)(2)/1 = 6 > 0

4. Теперь посмотрим на знак выражения на каждом интервале:

Интервал 1: + (положительное) Интервал 2: - (отрицательное) Интервал 3: - (отрицательное) Интервал 4: + (положительное)

5. Неравенство (x-3)(x-4)/(x-5) > 0 выполняется на интервалах, где знак выражения положительный, т.е. на интервалах 1 и 4:

Ответ: x < 3 или x > 5.