Question

Почему получаются разные ответы(я понимаю, что ОДЗ разные): 2log(x+1)>=2log((x+1)^2)>=2Оба логарифма по основанию 2.Ведь если 2 во втором вынести, получиться первое.Помогите, пожалуйста!

Answer 1

$1)\; \; 2log_2(x+1)\geq 2\; \; ,\; \; \; ODZ:\; x+1>0\; \; \to \; \; \underline {x>-1}\; ,\\\\log_2(x+1)\geq 1\; \; \to \; \; \; log_2(x+1)\geq log_22\; ,\\\\x+1\geq 2\; \; \to \; \; \underline {x\geq 1}\\\\\left \{ {{x>-1\; ,} \atop {x\geq 1\; ,}} \right.\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x\geq 1\\\\Otvet:\; \; x\in [\, 1;+\infty )\\\\\\2)\; \; \boxed {\; log_{a}x^2=2\cdot log_{a}|x|\; }\; \; ,\; \; a>0\; ,\; a\ne 1\\\\\\\log_2(x+1)^2\geq 2\; \; ,\; \; \; ODZ:\; \; (x+1)^2>0\; \; \to \; \; (x+1)^2\ne 0\; ,\; \underline {x\ne -1}$

$2\, log_2|x+1|\geq 2\; \; \to \; \; \; log_2|x+1|\geq 1\; \; ,\; \; log_{2}|x+1|\geq log_22\; ,\\\\|x+1|\geq 2\; \; \to \; \; \; \left [ {{x+1\geq 2} \atop {x+1\leq -2}} \right.\; \; \left [ {{x\geq 1} \atop {x\leq -3}} \right.\; \; \Rightarrow \\\\Otvet:\; \; x\in (-\infty ,-3\, ]\cup [\, 1,+\infty )$

P.S. Свойство  $log_{a}x^2=2\, log_{a}x$  верно только для  $x>0$  . Но под знаком log в его аргументе может стоять квадрат какого-то выражения, т.к. квадрат любого выражения неотрицателен (больше или равен 0) . Из-за области определения логарифмической функции  мы требуем , чтобы аргумент был строго больше 0, то есть остаётся, чтобы квадрат выражения не равнялся 0 . Во 2 (чётную) степень может возводится не только положительное, но и отрицательное выражение  $x^2=(-x)^2>0$ , а под знаком log должно остаться строго положительное выражение, поэтому в общем случае в аргументе log , надо писать модуль аргумента. Поэтому в общем случае действует свойство log , обведённое в рамочку.

Answer 2

Давайте рассмотрим это поэтапно:

Исходное неравенство: 2log(x+1) >= 2log((x+1)^2) >= 2

Шаг 1: Вынесем степень из логарифма 2log(x+1) = log((x+1)^2)

Теперь неравенство выглядит так: log((x+1)^2) >= 2log((x+1)^2) >= 2

Шаг 2: Упростим неравенство Для того чтобы перевести логарифм из сравнения, мы должны знать, что основание логарифма положительно и не равно 1. Поскольку в данном случае оба логарифма имеют одинаковое основание (основание 2), мы можем избавиться от них и сосредоточиться на выражениях внутри логарифмов.

Таким образом, у нас остаются два неравенства: (x+1)^2 >= 2 (x+1)^2 >= 2^2

Шаг 3: Решение неравенств

1. (x+1)^2 >= 2 (x+1)^2 - 2 >= 0 (x+1)^2 - 2 - 0 (x+1)^2 - 2 = 0 Теперь решим квадратное уравнение (x+1)^2 - 2 = 0: (x+1)^2 = 2 x+1 = ±√2 Два возможных решения: x = -1 + √2 и x = -1 - √2

2. (x+1)^2 >= 2^2 (x+1)^2 - 4 >= 0 (x+1)^2 - 4 = 0 Теперь решим квадратное уравнение (x+1)^2 - 4 = 0: (x+1)^2 = 4 x+1 = ±2 Два возможных решения: x = -1 + 2 = 1 и x = -1 - 2 = -3

Итак, получаем три возможных интервала решений:

1. x <= -1 - √2
2. -1 - √2 <= x <= -3
3. -3 <= x <= 1

Окончательное решение зависит от области определения (ОДЗ) исходного неравенства. Пожалуйста, убедитесь, что решения удовлетворяют ОДЗ исходного неравенства. Если ОДЗ для x включает значения из всех трех интервалов, то все три интервала будут допустимыми решениями исходного неравенства.