Question

Решите пожалуйста.докажите что не существует трех различных целых чисел a,b,c, таких что b-c делится на a-b, c-a делится на b-c и a-b делится на c-a.

Answer 1

Решение : ///////////////////////////////////////

Answer 2

Допустим, существуют три различных целых числа a, b и c, удовлетворяющих данным условиям:

1. b - c делится на a - b, то есть существует целое число k₁, такое что: b - c = k₁(a - b)

2. c - a делится на b - c, то есть существует целое число k₂, такое что: c - a = k₂(b - c)

3. a - b делится на c - a, то есть существует целое число k₃, такое что: a - b = k₃(c - a)

Теперь давайте объединим эти три уравнения, чтобы выразить одну переменную через другие:

1. Из первого уравнения получаем: a - b = (b - c) / k₁

2. Из второго уравнения получаем: b - c = (c - a) / k₂

3. Из третьего уравнения получаем: c - a = (a - b) / k₃

Теперь давайте заметим, что если (b - c) делится на (a - b), то оба выражения (b - c) и (a - b) имеют общий делитель. Но согласно уравнениям выше, (b - c) и (a - b) имеют общий делитель k₁ и (a - b) делится на k₁. Аналогично, (c - a) и (b - c) имеют общий делитель k₂ и (b - c) делится на k₂, и (a - b) и (c - a) имеют общий делитель k₃ и (c - a) делится на k₃.

Теперь рассмотрим различные случаи для k₁, k₂ и k₃:

• Если k₁ = k₂ = k₃, то все три выражения равны нулю, что означает, что a = b = c, что противоречит условию различных целых чисел.

• Если два из чисел k₁, k₂ и k₃ равны между собой, а третий различен, то можно показать, что это также приводит к противоречию, и все числа в итоге равны друг другу.

• Если все три числа k₁, k₂ и k₃ различны, то можно показать, что они не могут быть целыми числами, что приводит к противоречию.

Таким образом, для любых различных целых чисел a, b и c не существует таких чисел, удовлетворяющих условиям b-c делится на a-b, c-a делится на b-c и a-b делится на c-a.