Question

При каких n ∈ N числа 3n + 1 и 5n + 3 взаимно просты?​

Answer 1

Взаимно простые числа - это числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.

при n = 2

3 · 2 + 1 = 7 и 5 · 2 + 3 = 13

при n = 4

3 · 4 + 1 = 13 и 5 · 4 + 3 = 23

при n = 6

3 · 6 + 1 = 19 и 5 · 6 + 3 = 33

при n = 8

3 · 8 + 1 = 25 и 5 · 8 + 3 = 43

при n = 10

3 · 10 + 1 = 31 и 5 · 10 + 3 = 53

при n = 20

3 · 20 + 1 = 61 и 5 · 20 + 3 = 103

при n = 30

3 · 30 + 1 = 91 и 5 · 30 + 3 = 153

Answer 2

Два числа считаются взаимно простыми (или взаимно простыми), если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для определения при каких n ∈ N числа 3n + 1 и 5n + 3 взаимно просты, необходимо найти их НОД и проверить, когда он равен 1.

Пусть НОД(3n + 1, 5n + 3) = d.

Для нахождения НОД, можно воспользоваться алгоритмом Евклида. Начнем с выражения НОД(5n + 3, 3n + 1):

НОД(5n + 3, 3n + 1) = НОД(3n + 1, 2n + 2) (Вычитаем (5n + 3) - 2*(3n + 1) = (2n + 2))

Теперь продолжим:

НОД(3n + 1, 2n + 2) = НОД(n - 1, 2n + 2) (Вычитаем (3n + 1) - (n - 1) = 2n + 2)

НОД(n - 1, 2n + 2) = НОД(n - 1, 1) = 1 (Вычитаем (2n + 2) - (n - 1) = 1)

Таким образом, получаем, что НОД(3n + 1, 5n + 3) = 1 при всех значениях n ∈ N.

Это значит, что числа 3n + 1 и 5n + 3 взаимно просты при любых натуральных значениях n.