Question

Вирішіть систему рівнянь з трьома невідомими( олімпіадне завдання 10 клас): x+y=8 xy-16=z²

Answer 1

......................

Answer 2

Давайте вирішимо систему рівнянь крок за кроком.

1. Рівняння 1: x + y = 8

2. Рівняння 2: xy - 16 = z²

Ми маємо 3 невідомі: x, y і z. Візьмемо перше рівняння і вирішимо його відносно однієї з невідомих:

x = 8 - y (1')

Підставимо (1') у друге рівняння:

(8 - y)y - 16 = z²

8y - y² - 16 = z²

Перенесемо всі терміни на одну сторону:

y² - 8y + 16 - z² = 0

Тепер ми маємо квадратне рівняння відносно змінної y. Оскільки це олімпіадне завдання для 10 класу, можна припустити, що це рівняння має розв'язки в цілих числах.

Факторизуємо отримане рівняння:

(y - 4)² - z² = 0

((y - 4) + z)((y - 4) - z) = 0

За умовою задачі, це рівняння має мати розв'язки в цілих числах. Таким чином, два варіанти:

1. (y - 4) + z = 0 і (y - 4) - z = 0
2. (y - 4) + z = 0 і (y - 4) - z ≠ 0 (тобто, з = 0)

Розглянемо перший варіант:

(y - 4) + z = 0 (2') (y - 4) - z = 0 (3')

З (2') і (3') ми отримуємо:

y - 4 = -z y - 4 = z

Об'єднаємо ці два рівняння:

-z = z

Це можливо лише тоді, коли z = 0. Підставимо z = 0 у (2') або (3'):

y - 4 = 0 y = 4

Тепер знаходимо значення x. Підставимо y = 4 у (1'):

x = 8 - 4 x = 4

Отже, розв'язками системи рівнянь є x = 4, y = 4 і z = 0.