Question

Про действенный числа х, у та z известно, что х+2у-3z=0 докажите, что 2ху-3хz-6уz меньше или равняться 0

Answer 1

Введем новые обозначения для упрощения выражения:

x=a; 2y=b; -3z=c; по условию  a+b+c=0⇒ (a+b+c)²=0, то есть

a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)=0⇒2(ab+ac+bc)=-(a²+b²+c²)≤0.

Остается заметить, что 2xy-3xz-6yz=ab+ac+bc.

Answer 2

Для доказательства неравенства 2ху - 3хz - 6уz ≤ 0 при условии х + 2у - 3z = 0, давайте рассмотрим данное неравенство и попробуем выразить одну из переменных через другие, используя данное уравнение.

У нас есть условие:

х + 2у - 3z = 0

Теперь, давайте выразим х через у и z:

х = 3z - 2у

Теперь, подставим полученное значение х в исходное неравенство:

2(3z - 2у)у - 3(3z - 2у)z - 6уz ≤ 0

Упростим выражение:

6zy - 4у² - 9z² + 6yz - 6уz ≤ 0

Теперь объединим подобные члены:

6zy + 6yz - 4у² - 6уz - 9z² ≤ 0

Факторизуем, выделив общие члены:

6zy + 6yz - 6у(z + 1) - 9z² ≤ 0

Теперь, выразим у через z из уравнения х + 2у - 3z = 0:

2у = 3z - х

у = (3z - х) / 2

Подставим это значение у в исходное неравенство:

6z(3z - х) + 6z((3z - х) / 2) - 6((3z - х) / 2)(z + 1) - 9z² ≤ 0

Упростим:

18z² - 6zx + 3z² - 6zx + 3z² - 6z + 3х - 9z² ≤ 0

24z² - 12zx + 3х - 6z ≤ 0

Теперь, воспользуемся условием х + 2у - 3z = 0 и выразим х через у и z:

х = 3z - 2у

Подставим полученное значение х в предыдущее уравнение:

24z² - 12z(3z - 2у) + 3(3z - 2у) - 6z ≤ 0

24z² - 36z² + 24uz + 9z - 6z ≤ 0

-12z² + 27z + 9 ≤ 0

Теперь давайте найдем корни этого квадратного уравнения:

-12z² + 27z + 9 = 0

Запишем уравнение в стандартной форме:

12z² - 27z - 9 = 0

Используем формулу дискриминанта D для нахождения корней:

D = b² - 4ac

D = (-27)² - 4 * 12 * (-9) = 729 + 432 = 1161

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Значит, неравенство может быть истинным при определенных значениях z.

Таким образом, 2ху - 3хz - 6уz ≤ 0 не всегда выполняется, и неравенство зависит от конкретных значений х, у и z. Если бы у нас было дополнительное условие на значения переменных, мы могли бы определить, выполнится ли это неравенство или нет.