Question

F(x)=x^4-4x^2 {-3:3} найти наибольшее и наименьшее значение

Answer 1

$f(x)=x^4-4x^2\; \; ,\; \; \; x\in [-3;3\; ]\\\\f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)=4x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)=0\\\\x_1=0\; ,\; x_2=\sqrt2\; ,\; x_3=-\sqrt2\\\\znaki\; f'(x):\; \; \; ---(-\sqrt2)+++(0)---(\sqrt2)+++\\\\.\qquad \qquad \qquad \quad \; \; \; \searrow \; \; (-\sqrt2)\; \; \nearrow \; \; (0)\; \; \; \searrow \; \; (\sqrt2)\; \; \; \nearrow \\\\x=-3\; ,\; \; f(-3)=(-3)^4-4\cdot (-3)^2=45\\\\x=-\sqrt2\; ,\; \; f(-\sqrt2)=4-2\cdot 2=-4\\\\x=0\; ,\; \; \; f(0)=0\\\\x=\sqrt2\; ,\; \; f(\sqrt2)=4-4\cdot 2=-4\\\\x=3\; ,\; \; f(3)=3^4-4\cdot 3^2=45\\\\Otvet:\; \; f(naibol)=45\; ,\; \; f(naimen)=-4\; .$

Answer 2

Ответ рис., решение и ответ во вложении

Answer 3

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции $F(x) = x^4 - 4x^2$ в заданном интервале $-3 \leq x \leq 3$, мы можем следовать следующим шагам:

1. Найдите критические точки, где производная функции равна нулю или не существует.
2. Определите значения функции в критических точках и на концах интервала.
3. Сравните полученные значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение.

Давайте выполним эти шаги:

Шаг 1: Найдите критические точки: Для этого возьмем производную функции $F(x)$: $F'(x) = 4x^3 - 8x$

Найдем значения $x$, где $F'(x) = 0$: $4x^3 - 8x = 0$ $4x(x^2 - 2) = 0$

Таким образом, у нас есть три возможные критические точки: $x_1 = 0$ $x_2 = -\sqrt{2}$ $x_3 = \sqrt{2}$

Шаг 2: Определите значения функции в критических точках и на концах интервала: Вычислим значения функции в каждой из этих точек:

$F(-3) = (-3)^4 - 4(-3)^2 = 81 - 36 = 45$ $F(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^4 - 4(-\sqrt{2})^2 = 2 - 8 = -6$ $F(0) = 0^4 - 4(0)^2 = 0$ $F(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 = 2 - 8 = -6$ $F(3) = 3^4 - 4(3)^2 = 81 - 36 = 45$

Шаг 3: Найдите наибольшее и наименьшее значение: Сравнивая полученные значения, мы видим, что наименьшее значение функции в заданном интервале равно $-6$, а наибольшее значение равно $45$.

Итак, наименьшее значение функции $F(x) = x^4 - 4x^2$ в интервале $-3 \leq x \leq 3$ равно $-6$, а наибольшее значение равно $45$.