Question

Вася загадал двузначное число, а затем приписал к нему слева цифру 1, а справа – цифру 8, отчего число увеличилось в 28 раз. Какое число мог загадать Вася? Найдите все варианты и докажите, что других нет.​

Answer 1

Ответ:

56

Объяснение:

Пусть искомое двузначное число имеет вид $\tt \displaystyle \overline {xy}$, где x и y - цифры. После того как Вася приписал к нему слева цифру 1, а справа – цифру 8 получим следующее число $\tt \displaystyle \overline {1xy8}$. По условию:

$\tt \displaystyle \overline {1xy8}=28 \cdot \overline {xy}.$

Разложим по разряду числа в равенстве и упростим:

1·1000+x·100+y·10+8=28·(10·x+y)

1008=280·x+28·y-100·x-10·y

180·x+18·y=1008    |:18

10·x+y=56

Но $\tt \displaystyle \overline {xy}=10 \cdot x+y$, поэтому искомое число единственный и $\tt \displaystyle \overline {xy}=56.$

Answer 2

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Пусть исходное двузначное число, загаданное Васей, имеет вид "ab", где "a" - десятки, а "b" - единицы. Тогда число, полученное приписыванием цифры 1 слева и цифры 8 справа, будет иметь вид "1ab8".

Мы знаем, что новое число увеличилось в 28 раз. Это можно записать следующим образом:

(1ab8) = 28 * (ab).

Раскроем уравнение:

1000 + 100a + 10b + 8 = 28 * (10a + b).

Упростим его:

1000 + 100a + 10b + 8 = 280a + 28b.

Выразим "a" через "b":

1000 + 100a + 10b + 8 = 280a + 28b, 992 + 100a = 280a + 18b, 992 = 180a + 18b, 496 = 90a + 9b, 56 = 10a + b.

Теперь мы имеем систему уравнений:

a + b = 5, 10a + b = 6.

Решим систему уравнений:

a + b = 5, 10a + b = 6.

Вычтем первое уравнение из второго:

9a = 1, a = 1/9.

Очевидно, что "a" должно быть целым числом, поэтому решений в целых числах нет. Таким образом, задача не имеет решения с двузначными числами.

Вывод: Вася не мог загадать двузначное число, увеличившееся в 28 раз при приписывании цифр 1 и 8.