Question

Найти сумму целых решений неравенства (2x^2 + 7.5x - 7)^2 < (x^2 +9.5x + 1)^2 Помогите решить, пожалуйста и чтобы было все понятно. Заранее благодарю

Answer 1

Ответ:

2

Объяснение:

${(2 {x}^{2} + 7.5x - 7)}^{2} < {( {x}^{2} + 9.5x + 1)}^{2} \\ |2 {x}^{2} + 7.5x - 7| < |{x}^{2} + 9.5x + 1|$

Рассмотрим 4 случая, когда выводим выражения из модулей:

1) 1ое и 2ое выражения положительные

$2{x}^{2} + 7.5x - 7 < {x}^{2} + 9.5x + 1 \\ {x}^{2} - 2x - 8 < 0 \\ (x - 4)(x + 2) < 0$

т.е. ответ -1+0+1+2+3=5

2) 1ое положительное и 2ое отрицательное

$2 {x}^{2} + 7.5x - 7 < - {x}^{2} - 9.5x - 1 \\ 3 {x}^{2} + 17x - 6 < 0 \\ (x - \frac{1}{3} )(x + 6) < 0$

т.е. ответ -5-4-3-2-1+0=-15

3) 1ое отрицательное и 2ое положительное

$- 2 {x}^{2} - 7.5x + 7 < {x}^{2} + 9.5x + 1 \\ 3 {x}^{2} + 17x - 6 > 0 \\ (x - \frac{1}{3} )(x + 6) > 0$

т.е. область будет лежать в окрестностях (-бесконечность;-6) и (1/3;+бесконечность) в ответе сумма всех целых чисел: 1+2+3+4+5=15 т.к. остальные числа взаимно сокращаются

4) 1ое и 2ое отрицательные

$- 2 {x}^{2} - 7.5x + 7 < - {x}^{2} - 9.5x - 1 \\ {x}^{2} - 2x - 8 > 0 \\ (x - 4)(x + 2) > 0$

т.е. область в окрестностях (-бесконечность;-2) и (4;+бесконечность). В ответе сумма всех целых чисел дает: -3 аналогично

Тогда, если суммировать все ответы в 4 случаях: 5-15+15-3=2

Answer 2

Чтобы найти сумму целых решений неравенства, мы сначала рассмотрим неравенство и найдем его решения, а затем просуммируем все целочисленные решения.

Данное неравенство имеет вид: (2x^2 + 7.5x - 7)^2 < (x^2 + 9.5x + 1)^2

Для начала, раскроем квадраты на обеих сторонах неравенства:

4x^4 + 30x^3 + 99.75x^2 - 28x + 49 < x^4 + 19x^3 + 91.5x^2 + 19x + 1

Теперь соберем все члены в одну сторону неравенства:

3x^4 + 11x^3 + 8.25x^2 - 47x + 48 < 0

Теперь нужно найти целочисленные корни этого неравенства.

Один из способов это сделать - метод перебора. Мы будем подставлять значения x и проверять, удовлетворяют ли они неравенству.

Начнем с x = -10: 3*(-10)^4 + 11*(-10)^3 + 8.25*(-10)^2 - 47*(-10) + 48 = 310000 - 111000 + 8.25100 - 4710 + 48 = 30000 - 11000 + 825 - 470 + 48 = 19603

19603 > 0, поэтому x = -10 не является решением.

Попробуем следующее значение x = -9: 3*(-9)^4 + 11*(-9)^3 + 8.25*(-9)^2 - 47*(-9) + 48 = 36561 - 11729 + 8.2581 + 479 + 48 = 19683 - 8019 + 664.5 + 423 + 48 = 19663.5

19663.5 > 0, поэтому x = -9 тоже не является решением.

Продолжая этот процесс, можно проверить все значения целых чисел в некотором диапазоне, чтобы найти целочисленные решения неравенства.

Однако, в данном случае, мы видим, что все коэффициенты в неравенстве положительные, поэтому квадратное выражение всегда будет положительным. То есть, неравенство (2x^2 + 7.5x - 7)^2 < (x^2 + 9.5x + 1)^2 не имеет решений среди целых чисел.

Следовательно, сумма целых решений равна 0.