Question

Найти производную по её определению (через предел) y=x²+4x

Answer 1

Ответ: y'=2*x+4.

Объяснение:

Так как областью определения данной функции является вся числовая ось, то зафиксируем некоторую (любую) точку x0 и придадим аргументу x приращение Δx. По определению производной, y'(x0)=lim [y(x0+Δx)-y(x0)]/Δx при Δx⇒0. В нашем случае y(x0)=x0²+4*x0, y(x0+Δx)=(x0+Δx)²+4*(x0+Δx)=x0²+2*x0*Δx+(Δx)²+4*x0+4*Δx, откуда y(x0+Δx)-y(x0)=2*x0*Δx+(Δx)²+4*Δx. Разделив это выражение на Δx, находим [y(x0+Δx)-y(x0)]/Δx=2*x0+Δx+4. Предел это выражения при Δx⇒0, очевидно, равен 2*x0+4, так что y'(x0)=2*x0+4. Но так как x0 - любая точка из области определения, то, заменяя x0 на x, получаем y'(x)=2*x+4.

Answer 2

Чтобы найти производную функции y = x² + 4x по её определению через предел, мы можем использовать следующую формулу:

f'(x) = lim(h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

где f(x) - исходная функция.

Применяя эту формулу к функции y = x² + 4x, мы получаем:

f'(x) = lim(h -> 0) [(x + h)² + 4(x + h) - (x² + 4x)] / h

Раскрываем скобки:

f'(x) = lim(h -> 0) [(x² + 2xh + h² + 4x + 4h - x² - 4x)] / h

Упрощаем выражение:

f'(x) = lim(h -> 0) (2xh + h² + 4h) / h

Факторизуем числитель:

f'(x) = lim(h -> 0) h(2x + h + 4) / h

Сокращаем h:

f'(x) = lim(h -> 0) 2x + h + 4

Поскольку h стремится к нулю, остаются только слагаемые, не содержащие h:

f'(x) = 2x + 4

Таким образом, производная функции y = x² + 4x по её определению равна 2x + 4.