Question

Найти производную по определению через предел у™2х3​

Answer 1

Ответ: y'=6*x².

Объяснение:

1) Находим y(x+Δx)=2*(x+Δx)³=2*x³+6*x²*Δx+6*x*(Δx)²+2*(Δx)³.

2) Находим Δy=y(x+Δx)-y(x)=2*x³+6*x²*Δx+6*x*(Δx)²+2*(Δx)³-2*x³=6*x²*Δx+6*x*(Δx)²+2*(Δx)³.

3) Находим Δy/Δx=6*x²+6*x*Δx+2*(Δx)²

4) Находим предел Δy/Δx при Δx⇒0. Очевидно, что он равен 6*x². А этот предел есть ни что иное, как производная y'(x).

Answer 2

Для нахождения производной функции по определению через предел, используем определение производной:

f'(x) = lim (h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

В данном случае у нас есть функция y = 2x^3. Мы хотим найти производную этой функции. Значит, f(x) = 2x^3.

Теперь, подставим это значение в определение производной:

f'(x) = lim (h -> 0) [2(x + h)^3 - 2x^3] / h

Теперь раскроем кубы и выразим разность:

f'(x) = lim (h -> 0) [2(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - 2x^3] / h

Теперь сократим 2x^3 и вынесем его за предел:

f'(x) = 2 lim (h -> 0) [3x^2 + 3xh + h^2] / h

Теперь можно сократить h в числителе:

f'(x) = 2 lim (h -> 0) [3x^2 + 3xh + h^2]

Теперь подставим h = 0 в пределе:

f'(x) = 2(3x^2 + 3x * 0 + 0^2)

f'(x) = 6x^2

Итак, производная функции y = 2x^3 равна 6x^2.