Question

Сумма первых десяти членов убывающей геометрической прогрессии равна 9765625, а сумма следующих десяти членов равна 1024. Вычислить знаменатель этой прогрессии.

Answer 1

Сумма первых десяти членов геометрической прогрессии:

$a_0+qa_0+\ldots+q^9a_0=9765625=5^{10}$

Сумма следующих десяти членов:

$1024=2^{10}=q^{10}a_0+q^{11}a_0+\ldots+q^{19}a_0=q^{10}(a_0+qa_0+\ldots+q^9a_0)=\\=q^{10}*5^{10}$

$q^{10}={2^{10}\over5^{10}}=({2\over 5})^{10}\\q={2\over5}$

Ответ:

${2\over5}$

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулами суммы убывающей геометрической прогрессии.

Пусть знаменатель (знаменатель прогрессии) равен q.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии S_n вычисляется по формуле: S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q)

Где:

• a - первый член прогрессии,
• q - знаменатель прогрессии,
• n - количество членов прогрессии.

Из условия задачи у нас есть две суммы:

1. Сумма первых десяти членов равна 9765625.
2. Сумма следующих десяти членов равна 1024.

Давайте обозначим первый член прогрессии как a1.

1. Сумма первых десяти членов: S_10 = a1 * (1 - q^10) / (1 - q) = 9765625

2. Сумма следующих десяти членов: S_20 = a1 * (1 - q^20) / (1 - q) = 1024

Теперь разделим второе уравнение на первое: S_20 / S_10 = (a1 * (1 - q^20) / (1 - q)) / (a1 * (1 - q^10) / (1 - q))

От a1 и (1 - q) можно сократить: S_20 / S_10 = (1 - q^20) / (1 - q^10)

Подставим значения и решим уравнение:

1024 / 9765625 = (1 - q^20) / (1 - q^10)

1024 / 9765625 ≈ 1.048576e-4

Теперь найдем значение q^10:

q^10 = 1 - (1.048576e-4) ≈ 0.999895

Теперь найдем значение q:

q = (0.999895)^(1/10) ≈ 0.999995

Таким образом, знаменатель прогрессии (q) примерно равен 0.999995.