Question

Помогите с решением комплексного числа. (1-i)^5-1 / (1+i)^5+1

Answer 1

$\frac{(1-i)^{5}-1}{(1-i)^{5}+1}}=$

Воспользуемся формулой биноминального разложения двучлена

для 5-ой степени:  (a+b)⁵ = a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

1)

$(1-i)^{2}=1^5+5*1^4*(-i)+10*1^3*(-i)^2+10*1^2*(-i)^3+5*1*(-i)^4+(-i)^5=$

$=1-5i+10i^2-10i^3+5i^4-i^5=$

$=1-5i+10*(-1)-10*(-1)i+5*(-1)^2-(-1)^2*i=$

$=1-5i-10+10i+5-i=$

$=-4+4i$

2)

$(1+i)^{2}=1^5+5*1^4*i+10*1^3*i^2+10*1^2*i^3+5*1*i^4+i^5=$

$=1+5i+10*(-1)+10*i^2*i+5*(-1)^2+(-1)^2i=$

$=1+5i+10*(-1)+10*i^2*i+5*(-1)^2+(-1)^2i=$

$=1+5i-10-10i+5+i=$

$=-4-4i$

3)

$\frac{(1-i)^{5}-1}{(1-i)^{5}+1}}=\frac{(-4+4i)-1}{(-4-4i)+1}=\frac{-5+4i}{-3-4i}=$

$=\frac{-5+4i}{-3-4i}=\frac{-(5-4i)}{-(3+4i)}=\frac{5-4i}{3+4i}=$

$=\frac{(5-4i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{15-12i-20i+(4i)^2}{3^2-(4i)^2}=$

$=\frac{15-32i-16}{9+16}=\frac{-1-32i}{25}=-0,04-1,28i$

Ответ:  $-0,04-1,28i$

Answer 2

Давайте разберемся с решением данного выражения.

Для начала, вычислим числитель: (1 - i)^5 = (1 - i)(1 - i)(1 - i)(1 - i)(1 - i)

Мы можем воспользоваться формулой разложения разности кубов: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). Применяя эту формулу к первым двум множителям, получим: (1 - i)(1 - i)(1 - i) = (1^3 - i^3)(1 - i) = (1 + 3i)(1 - i)

Теперь продолжим разложение: (1 + 3i)(1 - i) = 1 - i + 3i - 3i^2 = 1 + 2i + 3 = 4 + 2i

Таким образом, числитель равен 4 + 2i.

Теперь рассмотрим знаменатель: (1 + i)^5 = (1 + i)(1 + i)(1 + i)(1 + i)(1 + i)

Аналогично разложению числителя, мы можем применить формулу разности кубов: (1 + i)(1 + i)(1 + i) = (1^3 + i^3)(1 + i) = (1 - 3i)(1 + i)

Продолжим разложение: (1 - 3i)(1 + i) = 1 + i - 3i - 3i^2 = 1 - 2i + 3 = 4 - 2i

Таким образом, знаменатель равен 4 - 2i.

Теперь мы можем вычислить результат деления: (4 + 2i) / (4 - 2i)

Для упрощения деления на комплексное число, умножим числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число знаменателя: (4 + 2i)(4 + 2i) / (4 - 2i)(4 + 2i)

Раскроем скобки и упростим выражение: (16 + 8i + 8i + 4i^2) / (16 + 8i - 8i - 4i^2) (16 + 16i - 4) / (16 - 4i^2)

Поскольку i^2 = -1, упростим дальше: (16 + 16i - 4) / (16 + 4) (12 + 16i) / 20

Теперь можно разделить каждое слагаемое на 20: 12/20 + (16i)/20 0.6 + 0.8i

Таким образом, исходное выражение (1 - i)^5 - 1 / (1 + i)^5 + 1 равно 0.6 + 0.8i.