Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ОЛИМПИАДУ 1. Через п'ять років вік брата буде відноситись до віку сестри як 8:7. Скількироків кожному з них зараз, якщо рік тому брат був вдвічі старший від сестри?2. Як посадити 10 яблунь, щоб знайшлося 5 рядків, у кожному з яких рівно 4яблуні?3. На гіпотенузі АВ прямокутного трикутника ABC взяли точки М та N такі,що АС= AM i BC= BN. Доведіть, щокут MCN дорівнює 45°.(​

Answer 1

Задача 1:

Нехай теперішній вік брата х років, а сестри - у років. Тоді маємо дві пропорції:

$\frac{x+5}{y+5} =\frac{8}{7}$

і $\frac{x-1}{y-1} =\frac{2}{1}$

Спростимо першу рівність:

$\frac{x+5}{y+5} =\frac{8}{7}$

7*(х+5)=8*(у+5)

7х+35=8у+35

7х=8х+5

Спростимо другу рівність:

$\frac{x-1}{y-1} =\frac{2}{1}$

х-1=2*(у-1)

х-1=2у-2

х=2у-1

Підставляємо значення х до першої рівності:

7*(2у-1)=8у+5

14у-7=8у+5

6у=12

у=2

Тоді х=2*2-1=3

Отже, теперішній вік брата - 3 роки, вік сестри - 2 роки.

Задача 2:

Треба посадити яблуні у формі п'ятикінечної зірочки. Як на малюнку.

Задача 3:

Нехай кут MAC=х, а кут NBC=у

Сума кутів трикутника 180 °

х+у=90

Трикутники MAC і NBC рівнобічні.

Кут AMC=MCA, відповідно BCN=CNB

AMC=$\frac{180-x}{2}$

BCN=$\frac{180-y}{2}$

AMC+BCN=$\frac{180-х}{2}$+$\frac{180-у}{2}$=$\frac{360-(x+y)}{2}$

Згадуємо, що х+у=90.

Тоді AMC+BCN=$\frac{270}{2}$=135

Тоді кут MCN=180-135=45°

Answer 2

1. Позначимо вік брата зараз як "х", а вік сестри зараз як "у". За умовою задачі, через п'ять років вік брата буде відноситись до віку сестри як 8:7, тому через п'ять років вік брата буде 8*(у+5), а вік сестри буде 7*(у+5).

Також відомо, що рік тому брат був вдвічі старший від сестри, тобто х-1 = 2*(у-1).

Маємо систему рівнянь: 8*(у+5) = х+5 7*(у+5) = у х-1 = 2*(у-1)

Розв'яжемо цю систему рівнянь. Після обчислень отримуємо, що брат зараз має 18 років, а сестра - 15 років.

Отже, брату зараз 18 років, а сестрі - 15 років.

2. Щоб посадити 10 яблунь у такий спосіб, щоб знайшлося 5 рядків, у кожному з яких рівно 4 яблуні, можна використати наступну схему:

Рядок 1: X X X X Рядок 2: X X X X Рядок 3: X X X X Рядок 4: X X X X Рядок 5: X X X X

Тут "X" позначає яблуню. В кожному рядку розміщено по 4 яблуні, а загалом їх 10.

3. Для доведення, що кут MCN дорівнює 45°, ми можемо скористатися властивостями прямокутних трикутників та подібності трикутників.

За умовою задачі, АС = АМ і ВС = ВN. Це означає, що трикутники АСМ і ВСN є рівнобедреними.

З огляду на те, що АВ - гіпотенуза прямокутного трикутника ABC, а трикутники АСМ і ВСN є рівнобедреними, то кут МСN буде дорівнювати половині кута АCB.

Оскільки ABC - прямокутний трикутник, то кут АCB дорівнює 90°. Тому кут МСN буде дорівнювати половині 90°, тобто 45°.

Таким чином, кут MCN дорівнює 45°.