Question

три додатні числа, сума яких дорівнює 12 утворюють арифметичну прогресію. якщо до них відповідно додати 1,2,6 то отримані числа будуть утворювати геометричну прогресію. знайти ці числа

Answer 1

Знайдемо другий член, використовуючи формулу суми членів арифметичної прогресії:

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n\\S_3=\dfrac{2a_1+2d}{2} \cdot 3=12\\(a_1+d) \cdot 3=12\\a_2 \cdot 3=12\\a_2=4$

Знайдемо різницю арифметичної прогресії, використовуючи ту властивість геометричної прогресії, що її член є середнім геометричних двох сусідніх членів:

$(a_2+2)^2=(a_1+1)(a_3+6)\\(a_1+1)(a_3+6)=36\\(a_2-d+1)(a_2+d+6)=36\\(4-d+1)(4+d+6)=36\\(5-d)(10+d)=36\\50-10d+5d-d^2=36\\d^2+5d-14=0$

Розв'яжемо останнє рівняння через дискримінант:

$D=5^2-4 \cdot (-14)=25+56=81\\d_1=\dfrac{-5+9}{2}=2\\d_2=\dfrac{-5-9}{2}=-7$

Тепер перевіримо, чи задовольняють ці корені умові. Перший випадок:

$d=2\\a_1=a_2-d=4-2=2\\a_3=a_2+d=4+2=6$

Усі корені (2, 4, 6) додатні, тому $d=2$ задовольняє.

Другий випадок:

$d=-7\\a_1=a_2-d=4-(-7)=11\\a_3=a_2+d=4+(-7)=-3$

У цій прогресії (11, 4, –3) один з членів від'ємний, а отже, $d=-7$ не задовольняє умові.

Відповідь:  2, 4, 6.

Answer 2

Позначимо три додатні числа утворюючи арифметичну прогресію як (a-d), a, (a+d), де d - різниця прогресії.

За умовою, сума цих трьох чисел дорівнює 12:

(a - d) + a + (a + d) = 12 3a = 12 a = 4

Тепер використаємо це значення a для знаходження d.

Таким чином, ми маємо арифметичну прогресію: (4 - d), 4, (4 + d).

Тепер, якщо до них додати 1, 2 та 6, ми отримаємо геометричну прогресію:

(4 - d) + 1 = 4 + 2 = 4 + d + 6 4 - d + 1 = 4 + 2 = 4 + d + 6

Тепер розв'яжемо ці рівняння:

1. 4 - d + 1 = 4 + 2

• d + 1 = 2
• d = 2 - 1 d = 1

2. 4 + d + 6 = 4 + 2 4 + 1 + 6 = 4 + 2 11 = 6

Отже, після перевірки виявляється, що рівняння не виконується. Можливо, виникла помилка в умові задачі. Будь ласка, переконайтеся, що ви коректно переписали умову або надайте додаткові вказівки, якщо щось відсутнє.