Question

Три додатні числа, сума яких дорівнює 21, утворюють арифметичну прогресію.Якщо до них відповідно додати 2, 3. 9, то одержані числа утворять геометричну прогресію. Знайти ці числа

Answer 1

Ответ:

числа в арифм прогрессии имеют вид

x-a, x, x+a, по условию x-a+x+x+a=3x=21 => x=7

Далее x-a+2=b(x+3)=b*b(x+a+9)

7-a+2 = b*10 = b*b(16+a)

9-a=10b=b*b(16+a)

Тогда

b = 10/(16+a)

9-a = 10*10/(16+a)

(9-a)(16+a)=100

144-7a-a*a=100

a*a+7a-44=0

a=-11 или a = 4

первое а не подходит, проверяем второе.

арифм прогрессия: 3, 7, 11

геометрическая: 5, 10, 20 (b = 1/2) - верно

Искомые три числа: 3, 7, 11

Объяснение:

Answer 2

Давайте позначимо три додатні числа утворені арифметичною прогресією як a, a + d і a + 2d, де "a" - перший член прогресії, а "d" - різниця між послідовними членами прогресії.

Сума цих трьох чисел дорівнює 21:

a + (a + d) + (a + 2d) = 21

Тепер давайте додамо до кожного з цих трьох чисел відповідно 2, 3 і 9. Отримаємо такі числа:

a + 2, a + d + 3 і a + 2d + 9

За умовою, ці числа утворюють геометричну прогресію. Тобто, вони мають спільний знаменник. Знаменник геометричної прогресії можна знайти, поділивши другий член на перший і третій член на другий:

(a + d + 3) / (a + 2) = (a + 2d + 9) / (a + d + 3)

Тепер розв'яжемо цю систему рівнянь. Спростимо обидва рівняння:

1. (a + d + 3) / (a + 2) = (a + 2d + 9) / (a + d + 3)

2. (a + d + 3)(a + d + 3) = (a + 2)(a + 2d + 9)

Розкриємо дужки:

(a^2 + 2ad + ad + d^2 + 6a + 9) = (a^2 + 2ad + 9a + 2d^2 + 18)

Розкриємо дужки і спростимо рівняння:

a^2 + 2ad + ad + d^2 + 6a + 9 = a^2 + 2ad + 9a + 2d^2 + 18

Віднімемо від обох боків a^2 і 2ad:

ad + d^2 + 6a + 9 = 9a + 2d^2 + 18

Тепер віднімемо від обох боків 9:

ad + d^2 + 6a = 9a + 2d^2 + 9

Перенесемо всі члени на одну сторону рівняння:

ad - 9a + d^2 - 2d^2 + 6a - 9 = 0

(ad - 9a) + (-d^2 + 6a - 9) = 0

a(d - 9) - (d^2 - 6a + 9) = 0

Тепер спростимо отримане рівняння:

a(d - 9) - (d^2 - 6a + 9) = 0

a(d - 9) - [(d - 3)(d - 3)] = 0

a(d - 9) - (d - 3)^2 = 0

Тепер ми маємо два можливих варіанти:

1. a(d - 9) = (d - 3)^2
2. a(d - 9) = -(d - 3)^2

Давайте розглянемо обидва варіанти:

1. a(d - 9) = (d - 3)^2

Якщо ми виберемо цей варіант, то ми отримаємо рішення a і d, і далі знайдемо числа:

a(d -