Question

Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 3. Якщо до першого і третього членів додати по 4, а до другого додати 3, то одержані числа утворять геометричну прогресію. Знайдіть ці числа

Answer 1

Уравнения алгебраической прогрессии:
a+d=b
b+d=c
a+b+c=3
b=3-a-c

вычитание:
a-b=b-c
a+c=2b
a+c=6-2a-2c
3a=6-3c
a=2-c

2-c+b+c=3
b=1

уравнения геометрической прогрессии:
(a+4)*n=b+3
(b+3)*n=c+4

деление:
(a+4)/(b+3)=(b+3)/(c+4)
b²+6b+9=ac+4a+4c+16
b²+6b+9-ac-4a-4c-16=0
b²+6b-7-8b-ac=0
b=1:
1+6-7-8=ac
ac=-8
a=2-c:
c(2-c)+8=0
c²-2c-8=0
D=4+32=6²
c=(2+6)/2=7:
a=2-7=-5
b=3+5-7=1
алгебраическая: -5, 1, 7
геометрическая: -1, 4, 11
неверно
c=(2-6)/2=-2:
a=2+2=4
b=3-4+2=1
алгебраическая: 4, 1, -2
геометрическая: 8, 4, 2
верно
Ответ: a=4, b=1, c=2

Answer 2

Позначимо перший член арифметичної прогресії як a, а різницю між членами як d. Тоді другий та третій члени будуть відповідно (a+d) та (a+2d).

За умовою задачі, сума трьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 3: a + (a+d) + (a+2d) = 3 3a + 3d = 3 a + d = 1 ... (1)

Також за умовою задачі, якщо до першого та третього членів додати по 4, а до другого додати 3, то одержані числа утворять геометричну прогресію: (a+4) : (a+d+3) : (a+2d+4) = r, де r - знаменник геометричної прогресії.

Запишемо це у вигляді двох рівнянь: (a+4)/(a+d+3) = r ... (2) (a+2d+4)/(a+d+3) = r^2 ... (3)

Поділимо одне з рівнянь на інше: [(a+4)/(a+d+3)] / [(a+2d+4)/(a+d+3)] = r / r^2 (a+4)/(a+2d+4) = 1/r r = (a+2d+4)/(a+4) ... (4)

Підставимо вираз для r з рівняння (4) в рівняння (2) та (3): (a+4)/[(a+d+3)] = [(a+2d+4)/(a+4)]^1 (a+2d+4)/[(a+d+3)] = [(a+2d+4)/(a+4)]^2

Спростимо: (a+4)^2 = (a+d+3)(a+2d+4) ... (5) (a+4)(a+2d+4) = (a+d+3)(a+2d+4)^2 ... (6)

Розв'яжемо систему рівнянь (1) та (5) або (6) для знаходження a та d:

a + d = 1 ... (1) (a+4)^2 = (a+d+3)(a+2d+4) ... (5) або (a+4)(a+2d+4) = (a+d+3)(a+2d+4)^2 ... (6)

Розв'язавши систему, отримаємо значення a та d. За формулою для членів арифметичної прогресії з