Question

Даю 60 баллов!!! Сума трьох чисел які складають геометричну прогресію =14 . Якщо від першого числа відняти 15, до другого додати 11, а до третього додати 5, то отримані числа будуть утворювати арифметичну прогресію . Знайдіть початкові числа

Answer 1

Ответ:Геометрическая прогрессия, сумма трех членов равна 14

b1 + b1*q + b1*q^2 = 14      (1)

Арифметическая прогрессия

b1 - 15 = a1                         (2)

b1*q + 11 = a2 = a1 + d        (3)

b1*q^2 + 5 = a3 = a1 + 2d  (4)

Получили 4 уравнения с 4 неизвестными, сложим (2), (3) и (4).

b1 - 15 + b1*q + 11 + b1*q^2 + 5 = a1 + a1 + d + a1 + 2d

Подставим (1)

14 - 15 + 11 + 5 = 3a1 + 3d

3a1 + 3d = 15

a1 + d = 5 - это 2 член арифметической прогрессии.

a1 = 5 - d = b1 - 15

b1 = 20 - d

q = (a1 + d - 11)/b1 = (5 - d + d - 11)/(20 - d) = -6/(20 - d)

Подставляем в (1)

(20 - d)*(1 - 6/(20-d) + 36/(20-d)^2) = 14

20 - d - 6 + 36/(20-d) = 14

(14-d)(20-d) + 36 = 14(20-d)

280 - 20d - 14d + d^2 + 36 = 280 - 14d

d^2 - 20d + 36 = 0

D = 20^2 - 4*36 = 400 - 144 = 256 = 16^2

1) d(1) = (20 - 16)/2 = 4/2 = 2

Здесь и далее (1) и (2) это порядковые номера решений.

b1(1) = 20 - d = 20 - 2 = 18

a1(1) = 5 - d = 5 - 2 = 3

q(1) = -6/(20-d) = -6/18 = -1/3

Это числа 18, -6, 2

2) d(2) = (20 + 16)/2 = 36/2 = 18

b1(2) = 20 - d = 20 - 18 = 2

a1(2) = 5 - d = 5 - 18 = -13

q(2) = -6/(20-d) = -6/(20-18) = -6/2 = -3

Это числа 2, -6, 18

Ответ: 1) 18, -6, 2; 2) 2, -6, 18

Answer 2

Давайте позначимо перше число у геометричній прогресії як "a", а знаменник прогресії як "r". Тоді друге число буде "ar", а третє число - "ar^2", де "r" - це знаменник геометричної прогресії.

За умовою задачі, сума трьох чисел геометричної прогресії дорівнює 14:

a + ar + ar^2 = 14 ...........(1)

Також нам дано, що якщо від першого числа відняти 15, до другого додати 11, а до третього додати 5, то отримані числа утворюють арифметичну прогресію.

Перше число після зміни: a - 15 Друге число після зміни: ar + 11 Третє число після зміни: ar^2 + 5

За умовою, ці числа утворюють арифметичну прогресію, тому:

(ar + 11) - (a - 15) = (ar^2 + 5) - (ar + 11)

Зведемо до спільного знаменника:

ar + 11 - a + 15 = ar^2 + 5 - ar - 11

Поміняємо місцями терміни:

ar - a + 11 + 15 = ar^2 - ar + 5 - 11

Зіпсуємо терміни:

ar - a + 26 = ar^2 - ar - 6 ...........(2)

Тепер у нас є дві рівняння (1) та (2). Давайте їх розв'яжемо.

(2) * 2: 2ar - 2a + 52 = 2ar^2 - 2ar - 12

2ar^2 - 2ar - 12 - 2ar + 2ar = 2ar^2 - 12

Спростимо:

2ar^2 - 12 = 2ar^2 - 12

Тепер, оскільки обидві сторони рівні, то зрозуміло, що умова задачі має безліч розв'язків. Якщо бажаєте продовжити розв'язування, надайте додаткові умови або обмеження.