Question

Сума трьох чисел, які утворюють спадну арифметичну прогресію, дорівнює 39. Якщо від них відняти відповідно 4; 5 і 2 , то отримані числа утворюють геометричну прогресію. Знайдіть суму перших восьми членів геометричної прогресії.​

Answer 1

Ответ: S₈=31,875.

Объяснение:

a₁+a₂+a₃=39

a₁+a₁+d+a₁+2d=39

3*a₁+3*d=39  |÷3

a₁+d=13

a₂=13   ⇒

a₁+13+a₃=39

a₁+a₃=26.

b₂=13-5

b₂=8.

b₂/b₁=b₃/b₂

8/b₁=b₃/8

a₁*b₃=8*8

b₁*b₃=64   ⇒

{a₁+a₃=26               {a₃=26-a₁

{(a₁-4)(a₃-2)=64       {(a₁-4)(26-a₁-2)=64      {(a₁-4)(24-a₁)=64

28a₁-a₁²-96=64

a₁²-28a₁+160=0    D=144   √D=12

a₁=20    a₁'=8  ∉   ⇒

d=13-20

d=-7.

a₃=13+(-7)

a₃=6    

20; 13; 6 - арифметическая прогрессия    ⇒

b₁=20-4

b₁=16

b₂=8

b₃=6-2

b₃=4.

16; 8; 4 - геометрическая прогрессия.

b₁=16     q=b₂/b₁=8/16     q=1/2.

S₈=16*(1-(1/2)⁸)/(1-(1/2))=16*(1-(1*256)/(1/2)=16*(255/256)/(1/2)=

=16*255*128=255/8=31,875.

Answer 2

Нехай перший член спадної арифметичної прогресії буде $a$, а різниця між членами буде $d$. Тоді можна записати:

1. $a + (a - d) + (a - 2d) = 39$.

З відомими числами $4$, $5$ і $2$ можна записати рядок для геометричної прогресії:

2. $a - 4$, $a - 5$, $a - 2$.

Ми знаємо, що отримані числа утворюють геометричну прогресію, тобто:

$\frac{a - 5}{a - 4} = \frac{a - 2}{a - 5} \cdot \frac{a - 2}{a - 4}$.

Розкривши множники та спростивши рівняння, ми отримаємо:

$(a - 5)^2 = (a - 2)^2$.

Розкриваючи квадрати, ми отримуємо:

$a^2 - 10a + 25 = a^2 - 4a + 4$.

Відкидаючи спільні члени та спрощуючи, маємо:

$-10a + 25 = -4a + 4$.

Підставивши значення $a + (a - d) + (a - 2d) = 39$, ми можемо знайти $d$:

$3a - 3d = 39$, $a - d = 13$, $d = a - 13$.

Тепер ми можемо підставити значення $d$ в рівняння геометричної прогресії:

$\frac{a - 5}{a - 4} = \frac{a - 2}{a - 5} \cdot \frac{a - 2}{a - 4}$.

Підставимо $d = a - 13$ та спростимо:

$\frac{a - 18}{a - 13} = \frac{a - 2}{a - 18}$.

Перейдемо до рівняння знову:

$(a - 18)^2 = (a - 13)(a - 2)$.

Розкриваючи квадрати, ми отримаємо:

$a^2 - 36a + 324 = a^2 - 15a + 26$.

Відкидаючи спільні члени та спрощуючи, маємо:

$-21a + 298 = 0$, $a = \frac{298}{21}$.

Тепер ми знаємо $a$ та $d$, і можемо знайти перший член геометричної прогресії:

$a - 4 = \frac{298}{21} - 4 = \frac{254}{21}$.

Сума перших восьми членів геометричної прогресії буде:

$S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}$,

де $a_1$ - перший член, $r$ - знаменник, $n$ - кількість членів.

Підставляючи значення, $a_1 = \frac{254}{21}$, $r = \frac{a - 2}{a - 4}$, $n = 8$:

$S_8 = \frac{\frac{254}{21} \cdot (1 - \left(\frac{a - 2}{a - 4}\right)^8)}{1 - \frac{a - 2}{a - 4}}$.

Розрахунок цього виразу допоможе знайти суму перших восьми членів геометричної прогресії.