Question

Даны точки А(10;4),В(1;10),С(-3;4),Д(6;-2),М(10;10) Докажите что АВСД-прямоугольник и найдите координаты точки пересечения его диагоналей (точка P)

Answer 1

Объяснение:

$A(10,4)\; ,\; \; B(1,10)\; ,\; \; C(-3,4)\; ,\; \; D(6,-2)\\\\AB=\sqrt{(1-10)^2+(10-4)^2}=\sqrt{117}\\\\CD=\sqrt{(6+3)^2+(-2-4)^2}=\sqrt{117}\\\\BC=\sqrt{(-3-1)^2+(4-10)^2}=\sqrt{52}$

$AD=\sqrt{(6-10)^2+(-2-4)^2}=\sqrt{52}\\\\AB=CD\; ,\; \; BC=AD\; \; \; \Rightarrow$  

ABCD - параллелограмм

Найдём длины диагоналей параллелограмма. Если диагонали равны, то параллелограмм будет прямоугольником.

$AC=\sqrt{(-3-10)^2+(4-4)^2}=\sqrt{13^2}=13\\\\BD=\sqrt{(6-1)^2+(-2-10)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$

$AC=BD$  , значит параллелограмм явл. прямоугольником.

Найдём середину диагоналей. В параллелограмме (прямоугольнике) диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Находим середину отрезка АС:

$x_{P}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{10-3}{2}=3,5\\\\y_{P}= \frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{4+4}{2}=4\\\\P(3,5\, ;\, 4)$

Можно было находить и середину BD, получили бы тот же результат.

Answer 2

Чтобы доказать, что ABCD является прямоугольником, нам необходимо убедиться, что его стороны параллельны и что диагонали перпендикулярны друг другу.

Для начала найдем уравнения прямых, проходящих через каждую пару точек.

Уравнение прямой, проходящей через точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂), можно найти, используя формулу:

y - y₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) * (x - x₁)

Для отрезка AB:

(x₁, y₁) = (10, 4) (x₂, y₂) = (1, 10)

y - 4 = (10 - 4) / (1 - 10) * (x - 10)

y - 4 = 6 / (-9) * (x - 10)

y - 4 = -2/3 * (x - 10)

Уравнение прямой AB: y = -2/3 * x + 22/3

Аналогично для отрезков BC, CD и DA:

BC: y = 0 * x + 10 = 10 CD: y = -2/3 * x + 2/3 DA: y = 6 * x + 38

Теперь убедимся, что стороны параллельны.

AB || CD, потому что их угловые коэффициенты (-2/3 и -2/3) равны.

BC || DA, потому что их угловые коэффициенты (0 и 6) равны.

Теперь проверим, что диагонали перпендикулярны. Для этого убедимся, что произведение их угловых коэффициентов равно -1.

Угловые коэффициенты диагоналей AC и BD:

AC: (-2/3 - 10)/(6 - (-3)) = -12/9 = -4/3 BD: (4 - (-2))/(10 - 1) = 6/9 = 2/3

Произведение -4/3 и 2/3 равно -8/9, что не равно -1.

Таким образом, ABCD не является прямоугольником. Возможно, в вопросе была допущена ошибка в координатах точек или их порядке.

К сожалению, без правильных координат точек ABCD невозможно найти точку пересечения его диагоналей.