Question

Исследовать кривую второго порядка и построить ее: 4ху+4х-4у+4=0

Answer 1

Объяснение:

Сначала выведем формулу У(х)

(4x - 4)*y = - 4*x

y = - 4*x/(4*(x-1) = - x/(x-1) - функция для анализа.

1. Область определения функции - ООФ.

Не допускается деление на 0 в знаменателе.

x  -1 ≠ 0.   x≠ 1

D(y) =  R\{1} = (-∞;1)∪(1;+∞) - ООФ.

2. Вертикальная асимптота - x = 1 -  разрыв II-го рода.  

3. Пересечение с осями координат.

С осью ОХ: числитель равен 0.   X0 = 0 - нуль функции.

С осью ОУ: y(0) = 0.

4. Интервалы знакопостоянства.

Положительна: y(x)>0: X∈(0;1).

Отрицательна: y(x)≥0: X∈(-∞;0]∪(1;+∞).

5. Проверка на чётность.

y(-x) = х/(-x-1)  - функция общего вида.

6. Первая производная - поиск экстремумов.

y'(x) = -x/(x-1)² -1/(x-1) = 1/(x-1)² = 0

Корней нет. Разрыв при Х = 1.

7. Локальные экстремумы в точке разрыва..  

минимум:Ymin = lim{x-> 1-} . Ymin= -∞.

максимум:Ymax =  \lim{x-> 1+} y(x) = +∞

8. Интервалы монотонности.  

Производная положительная - функция возрастает во всем интервале существования..

Возрастает: X∈(-∞;1)∪[1;+∞).

9. Вторая производная - поиск точек перегиба.

y"(x) = - 2/(x-1)³ = 0

Корней нет.  

10. Поведение функции.

Выпуклая - "горка" - X∈(1;+∞).

Вогнутая - "ложка" - X∈(-∞;1)

11. Наклонная асимптота: y = k*x+b.

k = lim(+∞) Y(x)/x = lim (-1/(x-1) =  0 - наклона нет.

b = lim(+∞)Y(x) - 0*x = -x/(x-1) =  -1 - сдвиг по оси ОУ.

Горизонтальная асимптота: y = -1.

12. Рисунок с графиками исследования - в приложении.

Answer 2

Дано уравнение кривой второго порядка: 4xy + 4x - 4y + 4 = 0.

Чтобы исследовать данную кривую, давайте приведем уравнение к каноническому виду кривой второго порядка.

4xy + 4x - 4y + 4 = 0

Перегруппируем члены:

4xy - 4y + 4x + 4 = 0

Разделим оба члена на 4:

xy - y + x + 1 = 0

Теперь добавим и вычтем 1 на правой стороне уравнения для удобства:

xy - y + x + 1 - 1 = 0

xy - y + x - 1 = 0

Теперь перепишем уравнение:

xy - y + x = 1

Для удобства, перенесем все члены с переменными на одну сторону уравнения:

xy - y + x - 1 = 0

Далее факторизуем по схеме сгруппированных членов:

y(x - 1) + (x - 1) = 0

(x - 1)(y + 1) = 0

Таким образом, у нас получилось два линейных уравнения:

x - 1 = 0 => x = 1 y + 1 = 0 => y = -1

Таким образом, кривая второго порядка представляет собой две прямые: x = 1 и y = -1. Давайте построим их на графике:

luaCopy code
  ^
  |
  |      x = 1
  |
  |---------------------------
  |
  |       y = -1
  |
  |
  +--------------------------->

На графике видно, что прямая x = 1 вертикальна и проходит через точку (1, -1), а прямая y = -1 горизонтальна и также проходит через точку (1, -1). Это и есть графическое представление кривой второго порядка 4xy + 4x - 4y + 4 = 0.