Question

Решение задач с помощью систем линейных уравнений с двумя неизвестными. Отцу и матери сейчас вместе 70 лет, а 20 лет назад отец был 1,5 раза старше матери. Сколько лет отцу и сколько матери?

Answer 1

Пусть отцу сейчас $x$ лет, а матери $y$ лет. Два условия запишутся так:

$\begin{cases}x+y=70\\x-20=1{,}5(y-20)\end{cases}$

Решим систему методом подстановки переменной:

$\begin{cases}x=70-y\\70-y-20=1{,}5(y-20)\end{cases}\\50-y=1{,}5y-30\\1{,}5y+y=50+30\\2{,}5y=80\\y=80:2{,}5=32\\x=70-y=70-32=38$

Ответ: отцу 38 лет, а матери 32 года.

Проверка:

1) Сложим возраст отца и матери: 38+32=70. Первое условие выполнено.

2) 20 лет назад отцу было 38-20=18 лет, а матери 32-20=12 лет. $18:12=3:2=1{,}5$. Второе условие выполнено.

Answer 2

Предположим, что сейчас отцу x лет, а матери y лет. Учитывая информацию, данную в задаче, мы можем сформулировать систему линейных уравнений:

Уравнение 1: x + y = 70 (отцу и матери вместе 70 лет)

Уравнение 2: x - 20 = 1.5(y - 20) (20 лет назад отец был 1,5 раза старше матери)

Решим эту систему уравнений, чтобы найти значения x и y.

1. Раскроем скобки в уравнении 2:

x - 20 = 1.5y - 30

2. Перенесем все слагаемые с y на одну сторону, а константы на другую:

x - 1.5y = -30 + 20

x - 1.5y = -10

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

Уравнение 1: x + y = 70 Уравнение 2: x - 1.5y = -10

Можно решить эту систему методом подстановки, методом сложения или методом умножения.

Давайте решим ее методом сложения. Умножим оба уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных коэффициентов во втором уравнении:

2(x + y) = 2(70) 2x + 2y = 140

2(x - 1.5y) = 2(-10) 2x - 3y = -20

Теперь сложим оба уравнения:

(2x + 2y) + (2x - 3y) = 140 + (-20) 4x - y = 120

Таким образом, у нас получилась новая система уравнений:

Уравнение 3: x + y = 70 Уравнение 4: 4x - y = 120

Решим систему уравнений 3 и 4.

Можно использовать метод подстановки или метод умножения.

Давайте решим систему методом подстановки.

Из уравнения 3 получим выражение для x:

x = 70 - y

Теперь подставим это выражение в уравнение 4:

4(70 - y) - y = 120

280 - 4y - y = 120

280 - 5y = 120

-5y = 120 - 280

-5y = -160

y = -160 / -5

y = 32

Теперь, зная y, мы можем найти x, подставив значение y в любое из исходных уравнений, например, в уравнение 3:

x + 32 = 70

x = 70 - 32

x = 38

Таким образом, отцу 38 лет, а матери 32 года.