Question

Найти общее решение ДУ второго порядка y"-4y'+4y=0

Answer 1

Пусть $y=e^{kx}$ получим характеристическое уравнение

$k^2-4k+4=0\\ \\ (k-2)^2=0\\ \\ k=2$

Общее решение линейного однородного диф. уравнения:

$y=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}$

Answer 2

Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения второго порядка, мы сначала найдем характеристическое уравнение.

Характеристическое уравнение: r^2 - 4r + 4 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -4 и c = 4.

D = (-4)^2 - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0

Так как дискриминант D равен нулю, у нас есть один корень с кратностью 2: r = -b / 2a = 4 / 2 = 2

Общее решение ДУ второго порядка имеет вид: y(x) = (c1 + c2x) * e^(2x)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Это общее решение заданного дифференциального уравнения второго порядка.