Question

3*9^x+11*3^x>4 решить

Answer 1

$3*9^{x}+11*3^{x}>4\\\\3*(3^{x})^{2}+11*3^{x}-4>0\\\\3^{x}=m,m>0\\\\3m^{2}+11m-4>0\\\\3m^{2}+11m-4=0\\\\D=11^{2} -4*3*(-4)=121+48=169=13^{2}\\\\m_{1}=\frac{-11+13}{6}=\frac{1}{3}\\\\m_{2}=\frac{-11-13}{6}=-4\\\\3m^{2} +11m-4=3(m-\frac{1}{3})(m+4)$

$3(m-\frac{1}{3})(m+4)>0\\\\(m-\frac{1}{3})(m+4)>0$

       +                     -                        +

_______(- 4)_________(1/3)________ m

\\\\\\\\\\\\\\\\\                        ///////////////////

1) m < - 4 - нет решений

$2)m>\frac{1}{3}\\\\3^{x}>\frac{1}{3}\\\\3^{x}>3^{-1}\\\\x>-1\\\\Otvet:\boxed{x\in(-1;+\infty)}$

Answer 2

Для решения данного неравенства с помощью алгебраических методов, воспользуемся следующими шагами:

1. Введем замену переменной: пусть z = 3^x. Тогда неравенство примет вид: 3z^2 + 11z > 4.

2. Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение: 3z^2 + 11z - 4 > 0.

3. Решим это квадратное уравнение. Сначала найдем его корни, используя формулу дискриминанта: Дискриминант (D) = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 * 3 * (-4) = 121 + 48 = 169. Корни уравнения: z1,2 = (-b ± √D) / 2a = (-11 ± √169) / 6. Таким образом, z1 = (-11 + 13) / 6 = 1 и z2 = (-11 - 13) / 6 = -4/3.

4. Рассмотрим знак выражения 3z^2 + 11z - 4 для разных интервалов значений z.

   a) Если z < -4/3, то все слагаемые 3z^2, 11z и -4 отрицательны. Следовательно, 3z^2 + 11z - 4 < 0 на этом интервале.

   б) Если -4/3 < z < 1, то слагаемое 3z^2 положительно, а 11z и -4 отрицательны. Таким образом, 3z^2 + 11z - 4 > 0 на этом интервале.

   в) Если z > 1, то все слагаемые 3z^2, 11z и -4 положительны. Следовательно, 3z^2 + 11z - 4 > 0 на этом интервале.

5. Итак, неравенство 3z^2 + 11z - 4 > 0 выполняется при -4/3 < z < 1.

6. Вспомним, что z = 3^x. Теперь мы можем записать интервалы, в которых выполняется исходное неравенство:

   а) -4/3 < z < 1 становится -4/3 < 3^x < 1.

7. Возведем все три части неравенства в степень 1/3 (третий корень) для избавления от степени 3: (-4/3)^(1/3) < (3^x)^(1/3) < 1^(1/3).

8. Упрощаем: -2^(1/3) < 3^(x/3) < 1.

9. Теперь нам нужно решить неравенство для x/3: -2^(1/3) < 3^(x/3) < 1.

10. Для решения этого неравенства мы можем применить логарифмические преобразования, получив: log(-2^(1/3)) < log(3^(x/3)) < log(1).

11. Поскольку логарифм отрицательного числа не определен в вещественных числах, мы можем проигнорировать левое неравенство.

12. Получаем: log(3^(x/3)) < log(1).

13. Применим свойства логарифмов: (x/3) * log(3) < 0.

14. Учитывая, что log(3) > 0, мы можем переписать неравенство без логарифма: x/3 < 0.

15. Умножим обе части неравенства на 3: x < 0.

Таким образом, исходное неравенство 39^x + 113^x > 4 выполняется, когда x < 0.