Question

ПРОШУ ПОМОГИТЕ !! Сума нескінченної спадної геометричної прогресії дорівнює 24, а сума першого та другого її членів 18. Знайти знаменник прогресії.

Answer 1

Пусть S — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая определена соотношением $S=\dfrac{b_1}{1-q}$, где $|q|$

По условию, $b_1+b_2=18$ (1), тогда по формуле n-го члена геометрической прогрессии $b_n=b_1q^{n-1}$, упростим равенство (1):

$b_1+b_1q=18~~\Leftrightarrow~~ b_1(1+q)=18~~~\Rightarrow~~~ b_1=\dfrac{18}{1+q}$

Подставляем теперь в формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

$\dfrac{b_1}{1-q}=24~~\Leftrightarrow~~~ \dfrac{18}{(1-q)(1+q)}=24~~~\Leftrightarrow~~~ \dfrac{18}{24}=1-q^2\\ \\ -\dfrac{6}{24}=-q^2~~~\Leftrightarrow~~~ q^2=\dfrac{1}{4}~~~\Rightarrow~~~ q=\pm\dfrac{1}{2}$

Ответ: q = ± 1/2.

Answer 2

Позначимо перший член прогресії як 'a' і знаменник як 'r'. За відомими умовами маємо таку систему рівнянь:

a + ar = 18 (1) a/(1 - r) = 24 (2)

Для вирішення системи рівнянь розділимо рівняння (2) на (1):

(a/(1 - r)) / (a + ar) = 24 / 18

a / (a(1 - r) + ar(1 - r)) = 4/3

a / (a - ar + ar - ar^2) = 4/3

a / (a(1 - r^2)) = 4/3

3a = 4a(1 - r^2)

3 = 4(1 - r^2)

3 = 4 - 4r^2

4r^2 = 4 - 3

4r^2 = 1

r^2 = 1/4

r = ±1/2

Отже, знаменник прогресії може бути або 1/2, або -1/2.