Question

Xdy + 2ydx = 0 если y = 2 при x = 4

Answer 1

$x\, dy+2y\, dx=0\; \; ,\; \; x\, dy=-2y\, dx\\\\\int \frac{dy}{y}=-2\int \frac{dx}{x}\\\\ln|y|=-2\, ln|x|+ln|C|\\\\y=Cx^{-2}\; \; ,\; \; y=\frac{C}{x^2}\\\\y(4)=2:\; \; 2=\frac{C}{4^2}\; \; ,\; \; C=32\\\\\boxed {y=\frac{32}{x^2} }$

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение: Xdy + 2ydx = 0.

Мы также имеем начальное условие: y = 2 при x = 4.

Для решения этого уравнения мы можем использовать метод разделения переменных.

Перепишем уравнение: Xdy = -2ydx.

Разделим обе части на y и dx: (1/y)dy = -2dx.

Интегрируем обе части:

∫(1/y)dy = ∫(-2)dx.

ln|y| = -2x + C,

где С - постоянная интегрирования.

Применим начальное условие: когда x = 4, y = 2.

ln|2| = -2(4) + C.

ln|2| = -8 + C.

C = ln|2| + 8.

Таким образом, общее решение уравнения будет:

ln|y| = -2x + ln|2| + 8.

ln|y| = -2x + ln(2e^8).

y = e^(-2x + ln(2e^8)).

y = e^(-2x) * 2e^8.

y = 2e^8 * e^(-2x).

Итак, решение уравнения Xdy + 2ydx = 0 с начальным условием y = 2 при x = 4 будет y = 2e^8 * e^(-2x).