Question

Решите уравнение sin (х + п/4) = корень 2/2 на промежутке (0; 2п).​

Answer 1

$sin(x+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt2}{2}\\\\x+\frac{\pi}{4}=(-1)^{n}\cdot \frac{\pi}{4}+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^{n}\cdot \frac{\pi}{4}+\pi n \; ,\; n\in Z\\\\ili\; \; \; \; x=\left [{-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}+2\pi n=2\pi n\; ,\; n\in Z\quad } \atop {-\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi }{4}+2\pi k=\frac{\pi}{2}+2\pi k\; ,\; k\in Z}} \right. \\\\x\in (0,2\pi )\, :\; \; x=\frac{\pi}{2}\; .$

Answer 2

Для решения уравнения sin(x + π/4) = √2/2 на промежутке (0, 2π), мы должны найти все значения x, удовлетворяющие данному условию.

Начнем с того, что найдем все значения, при которых sin(x + π/4) равен √2/2.

Мы знаем, что sin(π/4) = √2/2. Также мы знаем, что sin функция периодична с периодом 2π, то есть sin(x) = sin(x + 2π).

Исходя из этого, мы можем записать следующие уравнения:

1. x + π/4 = π/4 + 2πk, где k - целое число.
2. x + π/4 = 3π/4 + 2πk, где k - целое число.

Теперь решим каждое из этих уравнений для x.

1. x + π/4 = π/4 + 2πk x = 2πk

2. x + π/4 = 3π/4 + 2πk x = 2πk + π/2

Таким образом, на промежутке (0, 2π) уравнение sin(x + π/4) = √2/2 имеет два решения:

x = 2πk и x = 2πk + π/2, где k - целое число.

При этом нужно учесть, что на данном промежутке (0, 2π) у нас будет бесконечное количество решений, так как периодичность синуса позволяет повторяться значениям на протяжении всего интервала.